Title TACH DE HSG 6 CHU DE 3 TINH CHAT CHIA HET TRONG TAP HOP STN PHAN 3.docx ✅

CHỦ ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN A. PHẦN NỘI DUNG I. Quan hệ chia hết và tính chất. Dạng 1: Chứng minh chia hết. Bài 1: Cho biểu thức 2320092010201020102010.....20102010A Chứng minh rằng A chia hết cho 2011 Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2018 - 2019 Lời giải   23420092010 32009 32009 2010201020102010......20102010 2010.120102010.12010......2010.12010 2011.20102010......201020112011 A A AA   ⋮⋮ Bài 2: Chứng minh rằng 100993.10108B chia hết cho 24 . Trích đề HSG huyện Lục Nam năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 100999999 990980 3.1010810.3.101810.318310....08310...0088 chusochuso B⋮  Mặt khác: ︸︸ ︸︸ 100991009 1000980 1000 9 980 30...010...8 30...03;10...833 3.101083.10108 chusochuso chusochuso B VinenB  ⋮⋮⋮ Do (3, 8) = 1 nên 10099(3.10108)(3.8)⋮ Suy ra B ⋮ 24 Bài 3: Cho 2320222.....2M a) Chứng tỏ rằng 5M⋮ b) Tìm chữ số tận cùng của M Trích đề HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2016 - 2017 Lời giải    2320 23417181920 231723 1717 )222....2 2222.....2222 2.1222.....2.1222 15.2.....25.3.2.....25 aM   ⋮ b) Dễ thấy 2;510MMMM⋮⋮⋮ tận cùng bằng chữ số 0 Bài 4: Chứng tỏ rằng 20212020275.44....44125M chia hết cho 100 . Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2021 - 2022 Lời giải Đặt 20212020244...44175.25SMS Ta có 202120202202220213244...441444...444SS
Do đó 2022 202241 441 3SSS  . Suy ra 20222022202220214175.2575.2525.412525.4100.4 3MS  Suy ra 100M⋮ Bài 5: Chứng minh rằng: 28108 chia hết cho 72 Trích đề HSG huyện Thanh Oai năm 2017-2018 Lời giải Vì 28108 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9 Lại có 28108 có ba chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8 nên tổng đó chia hết cho 8, mà 8,91 nên 28108 chia hết cho 72. Bài 6: Cho biết 4ab chia hết cho 13,.abℕ Chứng minh rằng 10b chia hết cho 13 Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018- 2019 Lời giải 413104013103913 39131013 abababb bab   ⋮⋮⋮ ⋮⋮ Bài 7: Chứng tỏ: 515162S chia hết cho 33 Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018 - 2019 Lời giải Có 551541520151551516222222.212.33S Nên S chia hết cho 33 Bài 8: Chứng tỏ rằng: 2345111222222.....22A chia hết cho 7 Trích đề HSG huyện Đoan Hùng năm 2018-2019 Lời giải 23456789101112222222222222A 242721022.12221222.1222.122A 47107.2222A Suy ra A chia hết cho 7. Bài 9: Cho 135201120132015333.....333S . Chứng tỏ: a) S không chia hết cho 9 b) S chia hết cho 70 Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019 Lời giải a) 2520112013201533.....333 chia hết cho 9; 3 không chia hết cho 9 S không chia hết cho 9 b) 242011243133.....3133S (do S có 1008 số hạng) 20113.91....3.91S Ta thấy S chia hết cho 91 nên S chia hết cho 7 917.13 2201323.13.....313S (Do S có 1008 số hạng) 2011 3.10....3.10S
S chia hết cho 10. Do 7,101 nên S chia hết cho 7.1070 Bài 10: Cho 234903333.....3A . Chứng minh A chia hết cho 11 và 13 Trích đề HSG huyện Thạch Thành năm 2018-2019 Lời giải A có 90 số hạng mà 905⋮ nên 234903333.....3A   23456789108687888990 234623486234 686 3333333333.....33333 3.133333.13333.....3.13333 121.(33....3)1111 A A   ⋮⋮ A có 90 số hạng mà 903⋮ nên:    23456888990 242882 488 333333.....333 3.1333.133.....3.133 13.33.....31313 A A   ⋮⋮ Bài 11: Cho 23201420152016444....444C Chứng minh rằng C chia hết cho 21 và 105 Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019 Lời giải Ta có:     234201420152016 23456201420152016 24220142 42014 234201420152016 2342015 4444......444 444444.......444 4.1444.144.....4.144 21.44....421 4444......444 4444......4 C C       ⋮    2016 32015 32015 4 4.144.14.....4.14 5.44.....45   ⋮ Ta có 5,21CC⋮⋮ mà 5;211105C⋮ Bài 12: Chứng minh rằng: Nếu 7437xy⋮ thì 131837xy⋮ Trích đề HSG huyện Việt Yên năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 5131847465902816377437237xyxyxyxyxxy⋮ Hay 5131847437*xyxy⋮ Vì 7437xy⋮ mà 4;371 nên 47437xy⋮ Do đó, từ (*) suy ra : 5131837,xy⋮ mà 5,371 nên 131837.xy⋮ Bài 13: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Chứng minh rằng: 214p⋮ . Trích đề HSG huyện Hậu Lộc năm 2022 - 2023 Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3 . Ta có 22111111ppppppppp Do p là số lẻ nên 21pk=+ . Khi đó 21211211pkk 4.18kkk⋮ℤ Mặt khác, ta thấy rằng –1p , p , 1p là ba số nguyên liên tiếp, trong ba số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 mà p không chia hết cho 3 nên 1p hoặc 1p chia hết cho 3 . Do đó 2111ppp chia hết cho 3 . Mà ()3;81= nên 21p chia hết cho 24 (đpcm). Bài 14: a) Tìm hai số tự nhiên , xy sao cho 21.512xy . b) Tìm tất cả các số 62427xyB biết rằng số B chia hết cho 99 . Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015-2016 Lời giải a) Tìm hai số tự nhiên , xy sao cho 21.512xy . Ta có : 21.512xy Nên 21x và 5y là ước của 12 . Mà 121.122.63.4 Vì 21x là số lẻ 211x hoặc 213x Ta có: 21x 1 3 5y 12 4 x 0 1 y 17 9 Vậy: ;0;17;1;9xy . b) Tìm tất cả các số 62427xyB biết rằng số B chia hết cho 99 . Vì số B chia hết cho 99 nên sẽ chia hết cho 9 và 11 Số B đó có tổng chữ số là: 6242721xyxy sẽ chia hết cho 9 . Mà 19xy Có 21 chia 9 dư 3 suy ra 6xy hoặc 15xy Để B chia hết cho 11 thì 7462211  xyk hay 1311 2xyk kN (Một số chia hết cho 11 thì tổng các chữ số ở vị trí lẻ trừ tổng các chữ số ở vị trí chẵn là bội của 11 ) . Để B chia hết cho 11 thì 2yx hay 2yx Có 2 trường hợp xảy ra Trường hợp 1: 6xy và 2yx Thay 2yx vào 6xy ta được 26xx 24x