Title TACH DE HSG 6 CHU DE 6 DONG DU THUC - PHAN 2.docx ✅

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 9 CHỦ ĐỀ: ĐỒNG DƯ THỨC A. PHẦN NỘI DUNG Dạng 1: Toán chứng minh chia hết Bài 1: Cho ,pq là hai số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng 442019pq chia hết cho 20. Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải  44444 42222 20200 2020 219Apqpqq pqpqq       Vì ,pq là hai số nguyên tố lớn hơn 5 nên ,5,51pq 22 ,1,4(mod5)pq Nếu 22(mod5)pq thì 220(mod5)pq 2242220200(mod5)Apqpqq (1) Nếu 22,pq không cùng số dư khi chia cho 5 thì 22 140(mod5)pq 0(mod5)A (2) Từ (1) và (2) suy ra 5A⋮ (*) Mặt khác: ,5pq nên ,pq lẻ 22 1(mod4)pq 22 0(mod4)pq 2242220200(mod4)Apqpqq 4A⋮ (**) Từ (*) (**) 20A⋮ Bài 2: Cho biết 4ab chia hết cho 13 ,.abℕ Chứng minh rằng 1013b⋮ Trích đề HSG huyện Lâm Thao, năm 2018- 2019 Lời giải 413104013103913 39131013 abababb bab   ⋮⋮⋮ ⋮⋮ Bài 3: Cho 2398991333.....33S a) Chứng minh rằng S là bội của 20 b) Tính S, từ đó suy ra 1003 chia cho 4 dư 1 Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019 Lời giải a) Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm, mỗi nhóm 4 số hạng   239899 23456796979899 496 1333......33 13333333.....3333 203.20......3.2020 S S   ⋮
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 9 239899 23499100 100 )1333......33 33333.....33 13 34 4 bS S SSS     100100 3143⋮ chia cho 4 dư 1. Bài 4: Chứng tỏ: 515162S chia hết cho 33 . Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2010 - 2011 Lời giải Có 515154225162S 201522155152.22 1552(21)152.3333⋮ Vậy S chia hết cho 33 . Bài 5: Chứng minh rằng: 2341013333 chia hết cho 120 . Trích đề HSG huyện Hằng Hoá năm 2014 -2015 Lời giải Ta có: 234101333 3 234567899899100101333333333333 123452349723433333333333333...3 1597 3.1203.1203.120 1597120.333120⋮ (đpcm). Bài 6: Cho ,pq là hai số nguyên tố lớn hơn 5 . Chứng minh rằng 442019pq chia hết cho 20 . Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2022 - 2023 Lời giải Ta có 44444 12009202Apqpqq422222020pqpqq Vì ,pq là hai số nguyên tố lớn hơn 5 nên ;5;51pq 22 ,1;4(mod5)pq Nếu 22(mod5)pq thì 220(mod5)pq 2242220200(mod5)Apqpqq ()1 Nếu 22,pq không cùng số dư khi chia cho 5 thì 22140(mod5)pq Vậy 0(mod5)A ()2 Từ ()1 và ()2 suy ra 5A⋮ ()*
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 9 Mặt khác: ,5pq nên ,pq lẻ Suy ra 221(mod4)pq 22 0(mod4)pq 2242220200(mod4)Apqpqq Suy ra 4A⋮ ()** Từ ()* và ()** Suy ra 20A⋮ . Bài 7: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì 21202120203n⋮ . Trích đề HSG trường THCS Yên Phong năm 2021 - 2022 Lời giải Ta thấy: 20212mod3 212120212mod3nn Mặt khác: 2122.4nn mà: 41mod3 41mod3nn 2.42mod3n 2122mod3n nên 20201mod3 ; 2120212mod3n Vậy 21202120203n⋮ . Bài 8: Chứng tỏ: 10181nAn chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên) Trích đề HSG huyện Kim Sơn năm 2021 - 2022 Lời giải 10181101927nnAnnn 99.....9927 n nn 9.(11.....1)27 n nn  Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó 11.....19 n n⋮  nên 9.(11.....1)27 n n⋮  . Vậy 27A⋮ Dạng 2: Tìm số dư, chữ số tận cùng. Bài 1: Cho số 223232nnnnB với *nℕ . Khi đó chữ số tận cùng của B bằng A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2020-2021 Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 2011 )57a 1999)93b
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 9 Trích đề HSG huyện Tân Uyên năm 2018-2019 Lời giải a) Tìm chữ số tận cùng của số 201157 Xét 2011 7 , ta có: 50220114350277.72401.343 , suy ra chữ số tận cùng bằng 3 Vậy số 201157 có chữ số tận cùng là 3 b) Tìm chữ số tận cùng của số 199993 Xét 1999 3, ta có: 49919994349933.381.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 Vậy số 199993 có chữ số tận cùng là 7. Bài 3: Tìm số dư trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì được dư là 5 và chia cho 13 được dư là 4 Trích đề HSG huyện Vũ Thư, năm 2018- 2019 Lời giải Gọi số tự nhiên đó là a Theo bài ra ta có: 75;134,apaqpqℕ Suy ra : 97147.27app⋮ 9131313113aqq⋮ Ta có : 97;913;7,131aa⋮⋮ Do đó 99199191991918291.182aakakkk⋮ Nên a chia cho 91 có dư là 82. Bài 4: Một số tự nhiên khi chia cho 15 dư 5, chia cho 18 dư 17. Hỏi số dó khi chia cho 90 dư bao nhiêu ? Trích đề HSG huyện Quế Sơn 2018-2019 Lời giải Có 155Ab và 1817Ac 551560531255AbbA chia hết cho 5 Và 55187218455AccA chia hết cho 18 Do 5,181 nên 55A chia hết cho 90 A chia 90 dư 35 (dư 905535) Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của số 200620076,7 Trích đề HSG cấp huyện 2016-2017 Lời giải Ta có: 26366mod10, vậy 200666mod1066mod10n chữ số tận cùng của 20066 là 6 4724011mod10 , mà 20074.501377.7