Title Chương 3_Bài 3_Hàm số liên tục_CD_Lời giải.pdf ✅

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM 1. Hàm số liên tục tại một điểm Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;b và x0 a;b. Hàm số y  f  x được gọi là liên tục tại 0 x nếu     0 0 lim x x f x f x   . Nhận xét: Hàm số y  f  x không liên tục tại 0 x được gọi là gián đoạn tại 0 x . 2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau: Hàm số y  f  x được gọi là liên tục trên khoảng a;b nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. Hàm số y  f  x được gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu hàm số đó liên tục trên khoảng a;b và lim    ; lim     x b x a f x f a f x f b       . Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng a;b,a;b,a;  , a; ,;a,;a,;  được định nghĩa tương tự. Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là "đường liền" trên khoảng đó. II. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản -Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y  sinx, y  cosx liên tục trên  . Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y  tanx, y  cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. Hàm căn thức y  x liên tục trên nửa khoảng 0; . 2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Giả sử y  f  x và y  g  x là hai hàm số liên tục tại điểm 0 x . Khi đó: a) Các hàm số y  f  x  g  x, y  f  x  g  x và y  f  x g  x liên tục tại 0 x ; b) Hàm số     f x y g x  liên tục tại 0 x nếu g  x0   0 . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số   3 f x  2x  x 1 tại điểm x  2 . Lời giải Hàm số   3 f x  2x  x 1 xác định trên  . Ta có:       3 3 2 2 lim lim 2 1 2 2 2 1 17 2 x x f x x x f            . Do đó hàm số liên tục tại x  2 .
Bài 2. Trong các hàm số có đồ thị ở Hình 15a,15b,15, hàm số nào liên tục trên tập xác định của hàm số đó? Giải thích. Lời giải +) Hình 15a): Hàm số   2 f x  x  2x có tập xác định D   . Hàm số liên tục trên toàn bộ  . +) Hình 15b): Hàm số   1 x g x x   có tập xác định D  \\1. Do đó hàm số liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số. +) Hình 15c): Với x;1 có f  x  2x liên tục. Với x1;  có f  x  x 1 liên tục. Tại x  1 có   1 1 lim lim 2 2 x x f x x      và f 1  11  0 . Suy ra     1 lim 1 x f x f    . Do đó hàm số liên tục tại x  1. Vậy hàm số liên tục trên các khoảng ;1 và 1;  . Bài 3. Bạn Nam cho rằng: "Nếu hàm số y  f  x liên tục tại điểm 0 x , còn hàm số y  g  x không liên tục tại 0 x , thì hàm số y  f  x  g  x không liên tục tại 0 x ". Theo em, ý kiến của bạn Nam đúng hay sai? Giải thích. Lời giải Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng. Ta có: Hàm số y  f x liên tục tại điểm 0 x nên     0 0 lim x x f x f x   . Hàm số y  g x không liên tục tại 0 x nên     0 0 lim x x g x g x   . Do đó              0 0 0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x f x g x         . Vì vậy hàm số không liên tục tại o x . Bài 4. Xét tính liên tục của mỗi hàm số sau trên tập xác định của hàm số đó: a)   2 f x  x  sinx b)   4 2 6 1 g x x x x     ; c)   2 1 3 4 x x h x x x      .
Lời giải a) Hàm số   2 f x  x  sinx có tập xác định là  . Hàm số 2 x và sin x liên tục trên  nên hàm số   2 f x  x  sinx liên tục trên  . b) Hàm số   4 2 6 1 g x x x x     có tập xác định là R \1 . Hàm số 4 2 x  x liên tục trên toàn bộ tập xác định Hàm số 6 x 1 liên tục trên các khoảng ;1 và 1; . Vậy hàm số đã cho liên tục trên từng khoảng xác định của hàm số. c) Hàm số   2 1 3 4 x x h x x x      có tập xác định D  R \4;3. Hàm số 2 3 x x  liên tục trên các khoảng ;3 và 3;  . Hàm số 1 4 x x   liên tục trên các khoảng ;4 và 4;  . Bài 5. Cho hàm số   2 1 2 1 x x f x a        4 4 x x   a) Với a  0 , xét tính liên tục của hàm số tại x  4 . b) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x  4 ? c) Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục trên tập xác định của nó? Lời giải a) Với a =0, tại x  4 , ta có:           2 2 4 4 4 lim lim 1 4 4 1 21 và 4 2.0 1 1 Suy ra lim 4 . x x x f x x x f f x f               Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 4 . b) Ta có:     2 2 4 4 lim lim 1 4 4 1 21 x x f x x x          và f 4  2a 1 Để hàm số liên tục tại x  4 thì     4 lim x f 4 x f   21 2a 1 2a 20 a 10        Vậy với a 10 thì hàm số liên tục tại x  4 . c) Với x;4 có   2 f x  x  x 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này. Với x4;  có f  x  2a 1 liên tục với mọi x thuộc khoảng này. Tại x  4 thì a 10 hàm số liên tục. Vậy với a 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó. Bài 6. Hình 16 biểu thị độ cao h m của một quả bóng được đá lên theo thời gian t s, trong đó   2 h t  2t  8t . nếu nếu
a) Chứng tỏ hàm số ht liên tục trên tập xác định. b) Dựa vào đồ thị hãy xác định   2 2 lim 2 8 t t t    . Lời giải a) Hàm số   2 h t  2t  8t là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định. b) Dựa vào đồ thị hàm số khi t tiến dần đế 2 thì ht dần đến 8 . Vậy   2 2 lim 2 8 8 t t t     . C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng K và 0 x K. Hàm số y  fx gọi là liên tục tại 0 x nếu 0 0 x x0 x x x x o o lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ).          2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho   x 2 2 x f x x     với x  0. Phải bổ sung thêm giá trị f0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục tại x  0? Lời giải       x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 2 x x 2 2 x lim f x lim lim x x 2 2 x 2 1 lim . x 2 2 x 2                     Như vậy để hàm số liên tục tại x  0 thì phải bổ sung thêm giá trị   1 f 0 . 2  Ví dụ 2: Cho hàm số   2 a x vôùi x 1 vaø a f x . 3 vôùi x 1          Giá trị của a để fx liên tục tại x 1 là bao nhiêu? Lời giải TXĐ: D  . Ta có:     2 x 1 x 1 limf x lim a x a 1.       Để hàm số liên tục tại     x 1 x 1 limf x f 1 a 1 3 a 4.          Ví dụ 3: Cho hàm số   2 3 x 1 vôùi x 3 vaø x 2 f x . x x 6 b 3 vôùi x 3 vaø b                Tìm b để fx liên tục tại x  3.