Title Tuyển tập_bán in_363 trang_58 đề vào 10 chuyên cả nước 2024-2025_hồ khắc vũ.pdf ✅

thuvienhoclieu.com Trang 1
thuvienhoclieu.com Trang 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC: 2024 – 2025 Môn thi: TOÁN (Chuyên Toán) Ngày thi: 10/06/2024 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I 1) Giải phương trình x x x x ( 1) 2 2 2 0      2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 và thỏa mãn 2 2 2 a a b c b b c a c c a b         2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) Tính giá trị của biểu thức a b b c c a M c a b       Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn 2 2 x y xy x y     4 2 ( 2 ) 5 2) Cho m, n là các số nguyên thỏa mãn 2 2 m mn n   4 chia hết cho 25. Chứng minh số 2 2 m mn n   4 chia hết cho 25. Câu III 1) Cho x, y, k là các số nguyên dương sao cho số 2 2 k x y p x y   là số nguyên tố. Tìm k 2) Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c a b c       2, 2, 2; 3 , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ab b c bc c a ca a b          ( 1) ( 1) ( 1) Câu IV Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O), điểm M nằm giữa hai điểm B và C. Hai đường thẳng AM và DC cắt nhau tại P. Hai đường thẳng DM và AB cắt nhau tại K. 1) Chứng minh tam giác BCK đồng dạng với tam giác CPB 2) Hai đường thẳng BP và CK cắt nhau tại H. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt đường thẳng MH tại R. Chứng minh tam giác BRK là tam giác vuông cân. 3) Các đường thẳng vuông góc với OH kẻ từ O và H, cắt đường thẳng AB lần lượt tại X và Y. Lấy điểm Q thuộc tia đối của tia BC sao cho BQ = CM. Chứng minh hai đường thẳng QR, DK cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MXY. Câu V Cho bảng ô vuông kích thước 6x6. Ở bước đầu tiên, bạn Đn tô đỏ k ô vuông bất kỳ của bảng. Sau đó, ở mỗi bước tiếp theo bạn Đan tô đỏ các ô vuông kề với ít nhất hai ô đã được tô đỏ (hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có cạnh chung) 1) Chỉ ra một cách tô đỏ 23 ô của bảng ở bước đầu tiên sao cho dù sau bao nhiêu bước, bạn Đan cũng không thể tô đỏ được tất cả các ô của bảng. 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của k để tồn tại một cách tô đỏ k ô vuông ban đầu sao cho sau một số hữu hạn bước, bạn Đan tô đỏ được tất cả các ô vuông của bảng. ĐÁP ÁN Câu I: 1) ĐKXĐ: x  2 x x x x ( 1) 2 2 2 0      2       x x x x 2 2 2 0 2       x x x x 2 2 2 0
thuvienhoclieu.com Trang 3   2     x x 2 0      x x dk x 2 ( : 0) 2    x x 2 2     x x 2 0 1( ) 2( ) x tm x ktm        Vậy phương trình có nghiệm x = -1 2) Ta có: 2 2 a a b c c c a b      2 ( ) 2 ( ) 2 2      a b ac bc 2 2 0      ( )( 2 ) 0 a b a b c 2 a b a b c        TH1: a = b Ta có: 2 2 a a b c c c a b      2 ( ) 2 ( ) 2 2      a a a c c ac 2 ( ) 4 2 2     a ac c 2 0 2    ( ) 0 a c   a c Vậy ta thay a = b = c vào biểu thức M ta được a b b c c a M c a b       000 0 c a b     TH2: a + b = 2c (2) Ta có: 2 2 a a b c c c a b      2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 (2 2 ) ( ) 2 a b a a b c a b              2 2 3( ) (2 ) 4 a b a a b a b        2 2       4 4 ( 3 ) 3( ) 0 a a a b a b 2 2     3 6 3 0 a ab b 2    3( ) 0 a b   a b (3) Từ (2) và (3) suy ra a = b = c Do đó M = 0 Vậy M = 0. Câu II 2) Ta có: 2 2 2 m mn n m n mn      4 ( 2 ) 5 25 2    ( 2 ) 5 5 m n mn 2   ( 2 ) 5 m n   m n2 52   ( 2 ) 25 m n 5 5 25 5 5 m mn mn n      
thuvienhoclieu.com Trang 4 Nếu m 5 thì từ 2 2 2 2 m mn n m mn n      4 25 4 5 2 2    4 5 5 5 nnn Nếu n 5 thì từ 2 2 2 2 m mn n m mn n      4 25 4 5 2 2    4 5 5 5 mmm Vậy ta luôn có 5 5 m n    Suy ra 2 2 m mn n   4 25 Câu III 1) Gọi d UCLN x y x da y db a b      ( ; ) , ,( ; ) 1 Khi đó p trở thành 1 2 2 . . ,( 1) k k d a b p k a b     Gọi 0 p là một số nguyên tố chung của k ab và 2 2 a b  2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 , , k a p a b p b p a b p b p a b p a p           vô lý vì (a; b) = 1 2 2 1 2 2 ( ; ) 1 ( ) k k UCLN a b a b d a b       Đặt 1 2 2 ( ) . . k k d t a b p t a b      là số nguyên tố Nếu k = 1 thì 1 2 2 1 ( ) k d a b     vô lý Nếu k > 1 thì . . k p t a b  là số nguyên tố 1 1 . 1 t a p t b b           TH1: Nếu 1 2 1 ; 1 k t b p d p       2 2 3 ( 1)( ... 1) k k p d d d         Do đó 2 ( 2)( 5 2) 0 2 a a a P       Dấu “=” xảy ra khi chẳng hạn a = 2, b = 1, c = 0 Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 3 khi a = b = c = 1 Và giá trị nhỏ nhất của P là 2 khi a = 2, b = 1, c = 0 và các hoán vị Câu IV 1. Ta có hình vuông ABCD  AB // CD AB // CD  AB // CP AB BM CP MC   (1) (Định lý Thales) AB // CD  BK // DC  BK BM CD MC  (2) (Định lý Thales)