Title Chương 7_Bài 3_ _Đề bài_Toán 11_CD.pdf ✅

BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP 2 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA ➢➢1. Xét hàm số 3 2 y x x = − + 4 5 . a) Tìm y . b) Tìm đạo hàm của hàm số y  . Lời giải a) Có 2 y x x  = − 3 8 b) y x  = − 6 8 Giả sử hàm số y f x = ( ) có đạo hàm y f x   = ( ) tại mọi điểm x a b ( ; ) . Nếu hàm số y f x   = ( ) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y  tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y f x = ( ) tại x , kí hiệu là y  hoặc f x ( ). Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) 4 2 f x x x = − + 4 3. a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x bất kì. b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm 0 x = −1. Lời giải a) Ta có: ( ) 3 f x x x  = − 4 8 và ( ) 2 f x x  = − 12 8 . b) Ta có: ( ) ( ) 2 f  − =  − − = 1 12 1 8 4 . Ví dụ 2. Cho hàm số ( ) 1 2 f x x = + . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x −2 . b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm 0 x = 2 . Lời giải a) Với x −2 , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 x f x x x x     + −  = = − =     + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 4 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 x x f x x x x x    −      + +  = = = =     + + + +   . b) Ta có: ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 32 f  = = + . Lời giải
Ta có 3cos3 => 9sin3 y x y x  = −  = II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI ➢➢2. Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình 1 2 2 s gt = , trong đó g là gia tốc rơi tự do, 2 g  9,8 m / s . a) Tính vận tốc tức thời v t( ) tại thời điểm t t 0 1 = = 4 s ; 4,1 s ( ) ( ). b) Tính tỉ số v t   trong khoảng thời gian 1 0  = − t t t . Lời giải a) v t s t gt ( ) = = ( ) Vận tốc tức thời v t( ) tại thời điểm t 0 = 4 s( ) . v m s (4 9,8.4 39,2( / ) ) = = Vận tốc tức thời v t( ) tại thời điểm t 0 = 4,1 s( ) . v m s (4,1 9,8.4,1 40,18( / ) ) = = b) tỉ số v t   trong khoảng thời gian 1 0  = − t t t . ( 1 ) ( ) 1 1 1 o o o o v v t v t gt gt g t t t t t  − − = = =  − −  Tỉ số v t   gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t .  ( ) ( ) 0 lim t v v t a t t  →   = =  gọi là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t . Trong trường hợp tổng quát, ta có: Đạo hàm cấp hai s t ( ) là gia tốc tức thời của chuyển động s s t = ( ) tại thời điểm t . Ví dụ 3. Xét dao động điều hoà có phương trình chuyển động s t A t ( ) = + cos(  ) , trong đó A, ,   là các hằng số. Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động đó. Lời giải Gọi v t( ) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t , ta có: v t s t A t A t ( ) ( ) cos sin (     ) ( )  = = + = − +      Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s t v t A t A t       sin cos   = = − + −     = +  B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số y f x = ( ) 1. Phương pháp ✓ Tính đạo hàm cấp 1: f’(x) ✓ Tính đạo hàm cấp 2: ' f ''(x) f '(x) =    
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số ( ) 4 5 2 f x x 3x x 4 5 = − − + Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y cos2x = Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) 1 1 3 2 12 1. 3 2 f x x x x = + − − Giải f x '' 0 ( )  Ví dụ 4: Cho hàm số 1 y . x 1 = + Tính y ? Ví dụ 5: Cho hàm số x 3 y . x 4 − = + Tính ( ) ( ) 2 M 2 y 1 y .y . = + −   Ví dụ 6: Cho hàm số 1 2 y x x 1. 2 = + + Tính 2 y 2y.y .   − Ví dụ 7: Cho hàm số y x sin x. = Tính xy 2 y sin x xy . − − + (   ) Ví dụ 8: Cho hàm số y A sin x . =  +  ( ) Tính M y .y. 2 = +   Ví dụ 9: Cho hàm số yxx = − sin 2 cos 2 . Giải phương trình y  = 0. Ví dụ 10: Cho hàm số: ( ) 2 4 cos . 2 x y m x = − + Tìm m sao cho y   0 với mọi x . Ví dụ 11: Cho hàm số 3x 2 y . 1 x − = − Giải bất phương trình y 0.   Ví dụ 12 : Hàm số 3 3 2 ( ) 1 + + = − x x f x x có ( ) 3 2 3 ( ) 1 + + +  = − ax bx cx d f x x . Tính S a b c d = − + − 2 . Dạng 2: Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai 1. Phương pháp Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai: Gia tốc tức thời tại thời điểm là đạo hàm cấp 2 của hàm số . 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Câu 1: Một chất điểm chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình : , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Tính gia tốc của chuyển động khi . Câu 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 S t t t = − + + 3 9 , trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu. Câu 3: Một chất điểm chuyển động theo quy luật ( ) 3 2 s t t t = − + 6 với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, s t( ) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t . Tính thời điểm t tại đó vận tốc đạt giá trị lớn nhất. C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH BÀI TẬP Bài 1. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: a) 1 2 3 y x = + . b) 3 y x = log . c) 2 x y = . Bài 2. Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: a) 2 y x x = − + 3 4 5 tại điểm 0 x = −2 ; ( ) t s f t = ( ) 3 2 s t t t = − + + 3 5 2 t = 3
b) y x = + log 2 1 3 ( ) tại điểm 0 x = 3 ; c) 4 3 x y e + = tại điểm 0 x =1 ; d) sin 2 3 y x    = +     tại điểm 0 6 x  = ; e) cos 3 6 y x    = −     tại điểm 0 x = 0 . Bài 3. Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình 1 2 2 s gt = , trong đó g là gia tốc rơi tự do, 2 g  9,8 m / s . a) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t 0 = 2 s( ) . b) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t 0 = 2 s( ) . Bài 4. Một chất điểm chuyển động theo phương trình ( ) 3 2 s t t t t = − + + 3 8 1 , trong đó t  0 , t tính bằng giây và s t( ) tính bằng mét. Tìm vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chất điểm: a) Tại thời điểm t = 3 s( ) ; b) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 7 m( ) . Bài 5. Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 7 , có phương trình chuyển động x t = 4sin , trong đó t tính bằng giây và x tính bằng centimét. a) Tìm vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t(s) . b) Tìm vị trí, vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm ( ) 2 s 3 t  = . Tại thời điểm đó, con lắc di chuyển theo hướng nào? D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số ( ) 5 4 f x 2x 1 x = − + bằng biểu thức nào sau đây? A. 3 3 4 40x . x − B. 3 3 4 40x . x + C. 3 3 8 40x . x − D. 3 3 8 40x . x + Câu 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số y sin 2x = bằng biểu thức nào sau đây? A. −sin2x. B. −4sin x. C. −4sin2x. D. −2sin2x. Câu 3: Cho hàm số 2 y x = cos . Tính y ? A. y x  = −2 cos2 . B. y x  = −4 cos2 . C. y x  = 2 cos2 . D. y x  = 4 cos2 .