Title Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 7 - Nguyên hàm, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác.doc ✅

Trang 2 Kí hiệu 1 1 max ji in dTxx    . Nếu tồn tại giới hạn 1 0 1 lim n jji dT i Ifxx      thì giới hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f trên đoạn ;ab và được kí hiệu là: b a Ifxdx  . Ta chọn phân hoạch đều iixaba n , tổng tích phân 1 1 n njji i Sfxx     thì limbn a Sfxdx  . Nguyên hàm đa thức và phân thức: dxxC  kdxkxC với k là hằng số 1 lndxxC x  ' lnu dxuC u  Với 1 thì 11 .;.'. 11 xu xdxCuudxC       Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển tích số, hằng đẳng thức, phân tích thành phân số đơn giản,… Tổng quát với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia tách phần đa thức, còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu. Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất xa hay 2xpxq bậc hai vô nghiệm rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản: 2;ABxC xaxpxq   ; Đồng nhất hệ số ở tử thức thì tính được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh. Các dạng tích phân đa thức, phân thức hữu tỉ: b a Pxdx  : Chia miền xét dấu Px , b a xmxndx   : Đặt umxn hoặc phân tích, 2b a mxnpxqxrdx   : Đặt 2 upxqxr , .b a xmxmdx   : Nếu  thì đặt uxn . - Dạng 2 1b a dx pxqxr : Lập 2 4qpr .
Trang 3 20 b a dx mxn   : Dùng công thức 220 b a dx xk  : Đặt tanxkt 220 b a dx xk  : Biến đổi 22 1111 2xkkxkxk     - Dạng 2 b a mxn dx pxqxr   : Lập 2 4qpr 0 Phân tích và dùng công thức.   2 2222 ' 0ApxqxrmxnB pxqxrpxqxrxk    - Dạng  1 11 bbn mm nnn aa dxxdx xxxx    : đặt 1ntx . Chú ý: Cho hàm số fx liên tục trên đoạn ;aa . Nếu f lẻ thì 0a a fxdx    . Nếu f chẵn thì  0 2 aa a fxfxdx  . Nguyên hàm lượng giác: cossinxdxxC  cos.'.sinuudxuC sincosxdxxC  sin.'.cosuudxuC 2tan cos dx xC x  2 ' tan cos u dxuC u  2cot sin dx xC x  2 ' cot sin u dxuC u  Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ tan 2 x t ,…    sin11 . sin.sinsinsinsin xaxb xaxbabxaxb     22 111 . sincossinaxbxxab  2222 111 . 1cossincosxaxbxabab 
Trang 4 sincos'sincos sincossincossincos AaxbxcxxB axbxcaxbxcaxbxc    2222 111 . sinsincoscostantancosaxbxxxaxbxcx     2222 22222222 sincos'sincos sincossincos Aaxbxxx axbxaxbx    Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ thì đặt tương ứng ,, 2txtxtx  . Tích phân liên kết, để tính I thì đặt thêm J mà việc tính tích phân IJ và IJ hoặc IkJ và ImJ dễ dàng lợi hơn. Tích phân truy hồi nI theo 1nI  hay 2nI  thì sin,cosnnxx tách lũy thừa 1 và dùng phương pháp tích phân từng phần còn tan,cotnnxx tách lũy thừa 2 và dùng phương pháp tích phân đổi biến số. Nếu hàm số fx liên tục trên đoạn ;ab thì: /2/2 0000 sincos;sinsin 2fxdxfxdxxfxdxfxdx     Các dạng tích phân lượng giác: .sin,.cosbb aa PxxdxPxxdx  : đặt ,'sinuPxv hoặc cosx /2 0 ,sin,cosRxxxdx   : đặt 2xt   0 ,sin,cosRxxxdx   : đặt xt 2 0 ,sin,cosRxxxdx   : đặt 2xt sin,cosb a Rxxdx  : đặt tan, 2 x t đặc biệt: Nếu sin,cossin,cosRxxRxx thì đặt costx Nếu sin,cossin,cosRxxRxx thì đặt sintx Nếu sin,cossin,cosRxxRxx thì đặt tan,cottxx . 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 7.1: Tính giới hạn dãy nu xác định bởi: a) 3 4 1 n n i i u n  b) 2 33 1 n n i i u in 