Title Chương 3_Bài 10_Phương sai và độ lệch chuẩn_Lời giải_Toán 12_KNTT.pdf ✅

BÀI 2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là 2 s , là một số được tính theo công thức sau:     2 2 1 1 2 m k k x x m x x s n     trong đó, 1 1 ; 2 i i k i a a n m m x      với i 1,2,, k là giá trị đại diện cho nhóm ai ;ai1  và m1 1 k k x m x x n   là số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là s, là căn bậc hai số học của phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, tức là 2 s  s . Nhận xét. Ta có thể tính phương sai theo công thức:   2 2 2 2 1 1 1 ( ) k k s m x m x x n      . Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mã̃u số liệu. Ý nghĩa. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Chúng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm xung quanh số trung bình của mẫu số liệu đó. Phương sai, độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán. Chú ý: Người ta còn sử dụng các đại lượng sau để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm:     2 2 1 1 2 2 , . 1 m k k x x m x x s s s n       Ví dụ 1: Người ta theo dõi sự thay đổi cân nặng, được tính bằng hiệu cân nặng trước và sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng của một số người cho kết quả như sau: Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và nhận xét về sự thay đổi cân nặng của người nam, người nữ sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng.
Lời giải Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, ta có: Tổng số người nam là: 1 n  2  3 5  3 2 15. Tổng số người nữ là: 2 n  2  7 12  7  2  30. Thay đổi cân nặng trung bình của người nam là: 1     1 2 0,5 3 0,5 5 1,5 3 2,5 2 3,5 1,5 kg 15 x                 Thay đổi cân nặng trung bình của người nữ là: 2     1 2 0,5 7 0,5 12 1,5 7 2,5 2 3,5 1,5 kg 30 x                 Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nam là: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 ( 0,5) 3 0,5 5 1,5 3 2,5 2 3,5 1,5 1,21 ; 1, 21 15 s                s    Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thay đổi cân nặng của người nữ là: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 0,5) 7 0,5 12 1,5 7 2,5 2 3,5 1,5 2,06 ; 2,06. 30 s                s    Như vậy, sau ba tháng áp dụng chế độ ăn kiêng này, về trung bình sự thay đổi cân nặng của nam và nữ là như nhau. Tuy nhiên, sự biến động về thay đổi cân nặng của nữ nhiều hơn so với của nam. Luyện tập 1: Một vận động viên luyện tập chạy cự li 100 m đã ghi lại kết quả luyện tập như sau: Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này. Phương sai và độ lệch chuẩn cho biết điều gì? Lời giải
Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có: Tống số vận động viên là: 3 + 7 + 8 + 2 = 20 . Thời gian chạy trung bình là: 10,3.3 10,5.7 10,7.8 10,9.2 10,59 20     . Phương sai của mẫu số liệu là 2 2 2 2 2 10 2 ,3 .3 10,5 .7 10,7 .8 10,9 .2 10,59 0,0299 20 s       . Độ lệch chuấn của mẫu số liệu là: s  0,0299  0,17 . Dựa vào phương sai và độ lệch chuấn ta có kết luận rằng mẫu số liệu kết quả luyện tập có tính đồng đều, dữ liệu có xu hướng gần giá trị trung bình và ít bị phân tán. Vận dụng: Hãy tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm cho bài toán trong tình huống mở đầu và cho biết có cần đưa máy đi sửa chữa hay không? Lời giải Chọn giá trị đại diện cho mẫu số liệu ta có: Độ ấm trung bình là: 52,05.1 52,15.5 52,25.8 52,35.4 52,45.2 52,255 20      . Phương sai:
2 2 2 2 2 2 52 2 ,05 .1 52,15 .5 52,25 .8 52,35 .4 52,45 .2 52,255 0,010475 20 s        . Độ lệch chuấn là: s  0,010475  0,102 . Vì s  0,102  0,15 do đó không cần đưa máy đo này đi sửa chữa. 2. SỬ DỤNG PHƯƠNG SAI, ĐỘ LỆCH CHUẨN ĐO ĐỘ RỦI RO Trong tài chính, người ta có nhiều cách đề đo độ rủi ro của một phương án đầu tư. Một trong các cách đó là sử dụng độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được theo phương án đầu tư. Độ lệch chuẩn càng lớn thì phương án đầu tư càng rủi ro. Ví dụ 2: Anh An đầu tư số tiền bằng nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh A, B . Anh An thống kê số tiền thu được mỗi tháng trong vòng 60 tháng theo mỗi lĩnh vực cho kết quả như sau: So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được mỗi tháng khi đầu tư vào mỗi lĩnh vực A, B. Đầu tư vào lĩnh vực nào "rủi ro" hơn? Lời giải Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có: Số tiền trung bình thu được khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là:   1 5 7,5 5 27,5 17,5 (tri u đ ng); 60 x A      e o   1 20 7,5 20 27,5 17,5 (tri u đ ng). 60 xB      e o Như vậy, về trung bình đầu tư vào các lĩnh vực A, B số tiền thu được hàng tháng như nhau. Độ lệch chuẩn của số tiền thu được hàng tháng khi đầu tư vào các lĩnh vực A, B tương ứng là: