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S2 EXAMENS ALGEBRE 2 FSAC-CASABLANCA (SMPC ) COURS DE SOUTIEN PAR FACEBOOK SMPC SMAI ENSEM ENSAJ EST PSI MP Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات مختارة PHYSIQUE : Mécanique & Thermodynamique & Electricité & Optique & Electrocinetique & Electronique MATH : Analyse & Algèbre & Probabilité & Statistique Veuillez nous contacter : 06-02-49-49-25 par whatsapp :06-26-45-09-23
Universit ́e Hassan II, Casablanca Ann ́ee 2018-2019 Facult ́e des Sciences Ain Chock Fili`ere SMPC D ́ept. de Math. & Info. Alg`ebre II Examen de rattrapage - Session de Printemps Dur ́ee 1 H 30 Exercice 1 (10 points) Soit f l’endomorphisme de R 3 d ́efini par : f(x, y, z) = (x − y, x + y + 2z, y + z), pour tout vecteur (x, y, z) de R 3 . 1. Calculer la matrice A de f relativement `a la la base canonique B = {e1, e2, e3} de R 3 . 2. On consid`ere les vecteurs v1 = (−1, −1, 1), v2 = (−2, 0, 1), v3 = (−1, 1, 1). Montrer que C = {v1, v2, v3} est une base de R 3 . 3. D ́eterminer la matrice de passage P de B `a C . 4. Calculer P −1 . 5. Calculer la matrice D de f par rapport `a la base C . 6. Calculer An pour n ∈ N ∗ . Exercice 2 (3 points) On consid`ere la matrice A =   1 2 4 3 1 7 −5 8 −2   . 1. Calculer le rang de A. 2. A est-elle inversible ? Justifiez votre r ́eponse. Exercice 3 (7 points) Soit u l’application d ́efinie par : u : R2[X] → R2[X] P 7→ XP0 + P(1), o`u P 0 est le polynˆome d ́eriv ́e de P. On munit l’espace R2[X] de sa base canonique B = {1, X, X2}. 1. Montrer que u est lin ́eaire. 2. Soit P = a + bX + cX2 un vecteur de R2[X]. Exprimer les coordonn ́ees de u(P) dans la base B. 3. Donner la matrice A de u relativement `a la base B. 4. Montrer que Ker u = {0 R2[X]}. 5. Quel est le rang de u ? 6. En d ́eduire que Im u = R2[X].
Universit ́e Hassan II, Casablanca Ann ́ee 2017-2018 Facult ́e des Sciences Ain Chock Fili`ere SMPC D ́ept. de Math ́ematiques & Informatique Alg`ebre II Examen de rattrapage - Session de Printemps Dur ́ee 1 H 30 Exercice 1 (4 points) On consid`ere l’ensemble F = {P ∈ R3[X]/ P = a + aX + bX3 , a, b ∈ R}. 1. Montrer que F est un sous espace vectoriel de R3[X]. 2. D ́eterminer une base de F. 3. Soient P1 = 1 ∈ R3[X], P2 = 1 + X2 ∈ R3[X] et G = vect{P1, P2}. Montrer que F ⊕ G = R3[X]. Exercice 2 (3 points) Soit A ∈ Mn(R) une matrice carr ́e v ́erifiant : A 2 − 2A + In = 0, o`u In d ́esigne la matrice identit ́e. 1. Montrer que A est inversible et calculer son inverse. 2. On pose : N = A − In. Calculer N2 puis Nn pour n > 2. 3. En d ́eduire An , n > 2. Exercice 3 (13 points) Soit f l’endomorphisme de R 3 d ́efini par : f(x, y, z) = (2x + y, −3x − y + z, x − z), pour tout vecteur (x, y, z) de R 3 . 1. Calculer la matrice A de f relativement `a la la base canonique B = {e1, e2, e3} de R 3 . 2. Donner une base pour Ker f. 3. Donner une base pour Imf. 4. Ker f et Imf sont-ils suppl ́ementaires dans R 3 . 5. On consid`ere les vecteurs v1 = (1, −2, 1), v2 = (0, −1, 1), v3 = (0, 0, 1). Montrer que C = {v1, v2, v3} est une base de R 3 . 6. D ́eterminer la matrice de passage P de B `a C . 7. Calculer P 2 . En d ́eduire P −1 . 8. Montrer que la matrice de f par rapport `a la base C est N =   0 −1 0 0 0 −1 0 0 0   9. Calculer N3 , puis A3 en utilisant la relation entre A et N. 10. Posons M = A + I3, o`u I3 est la matrice identit ́e d’ordre 3. Montrer que ∀n ∈ N, Mn = αI3 + βA + γA2 , o`u α, β et γ sont `a pr ́eciser.
Examen de rattrapage Alg`ebre II SMPC - Printemps 2018 Corrig ́e Exercice 1 1. ∀P ∈ F, ∃ a, b ∈ R : P = a(1 + X) + bX3 . D’o`u F = vect{1 + X, X3}. Donc F est un sev de R3[X]. (On pourra aussi faire appel `a la d ́efinition d’un sev) (1 pt) 2. B = {1+X, X3} est une famille g ́en ́eratrice de F. De plus, elle est libre car deg(1+X) < deg(X3 ). Donc c’est une base de F. (1 pt) 3. {P1, P2} est, par d ́efinition de G, une famille g ́en ́eratrice de G. De plus elle est libre. C’est donc une base de G. D’o`u dim G = 2. Et par suite dim F+dim G = 4 = dim R3[X]. (1 pt) Si P ∈ F ∩ G, P s’ ́ecrit : P = α + αX + βX3 car P ∈ F et P = γ + δ(1 + X2 ) car P ∈ G. L’ ́egalit ́e de ces deux polynˆomes entraˆıne α = β = γ = δ = 0 i.e. P = 0. D’o`u F ∩ G = {0}. (1 pt) On a : F ∩ G = {0} et dim F + dim G = 4 = dim R3[X] donc F ⊕ G = R3[X]. Exercice 2 1. A(2In − A) = In. D’o`u A est inversible et A−1 = 2In − A. (1 pt) 2. AIn = InA. On a donc N2 = A2 − 2A + In = 0. (0.5 pt ) ∀n > 2, Nn = Nn−2N2 = 0. (0.5 pt ) 3. A = (A−In) + In = N + In. Comme NIn = InN on peut utiliser la formule du binˆome : An = (N + In) n = Pn k=0 C k nNk In n−k , = C 0 nN0 + C 1 nN, = In + nN = (1 − n)In + nA. (1.5 pt) Exercice 3 1. Lin ́earit ́e de f. (1 pt) 2. A =   2 1 0 −3 −1 1 1 0 −1   (0.5 pt)