Title [CHUYÊN] 4.ĐỀ THI CHÍNH THỨC VÀO 10 MÔN TOÁN SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ (ĐỀ CHUYÊN) (NĂM HỌC 2022 - 2023) (CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT).pdf ✅

TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG TRỊ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT MÔN: TOÁN - NĂM HỌC 2022 - 2023 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: Cho biểu thức 2 2 2 2 ( 1) 1 ( 1)              x x P x x x với x  0, x  1. a) Rút gọn P . b) Tìm giá trị lớn nhất của P . Câu 2: 1) Giải phương trình 2 3 2x  x  4( x 1)  6 x 1 . 2) Gọi 1 2 x , x là hai nghiệm của phương trình 2 x 11x  4  0 . Hãy lập một phương trình bậc hai nhận hai số 1 2 1 x x  2 x và 2 1 2 x x  2 x làm hai nghiệm. Câu 3: 1) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thỏa mãn 2 2 p  2q 1. 2) Ba cầu thủ của một đội bóng trò chuyện với nhau về số áo được in trên áo mỗi người, nội dung như sau: An: Tôi nhận ra rà̀ng các số trên áo của chúng ta đều là số nguyên tố có hai chữ số. Bình: Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi đã trôi qua vào tháng này. Chung: Thât thú vị! Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi sắp tới vào tháng này. An: Và tổng hai số trên áo hai bạn là ngày hôm nay. Hãy xác định số áo của An, Bình và Chung. Câu 4: 1) Cho biểu thức   2 f x  ax  bx  c (với a,b,c,a  0 ). Đặt 2 Δ  b  4ac . Chứng minh rằng nếu Δ  0 thì f  x  0 với mọi số thực x . 2) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y,z ta có:     2 2 2 2 2 2 3 x  x 1 y  y 1 z  z 1 1 xyz  x y z Câu 5: Cho tam giác ABC vuông ở B có BD là đường cao D AC.M là điểm thuộc đường trung trực Δ của đoạn thẳng CD . Đường tròn đường kính MA cắt đường tròn tâm A bán kính AB tại E và F . a) Chứng minh 2 AE  AD.AC . b) Chứng minh MC  ME . c) Khi M di động trên Δ , chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1 (VD): Phương pháp: Tìm GTNN bằng cách dùng hằng đẳng thức. Cách giải: a) 2 2 2 2 ( 1) 1 ( 1)              x x P x x x Ta có 2 2 2 1 ( 1)      x x x x     2 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) x x x x x x x x x x                      Suy ra 2 2 2 2 ( 1) 1 ( 1)              x x P x x x 2 2 1 1 ( 1) 1 ( 1)            x x x 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 ( 1)        x x x x   2   x 1  ( x 1)  x 1 x  2 x 1  2x  2 x  P  2x  2 x b) Ta có 2 1 1 2 2 2 2 2              P x x x Suy ra 1 2 P  ; P dạt GTLN bằng 1 2 khi 1 4 x  Câu 2 (VD): Phương pháp: 1) Đặt nhân tử chung 2 x 1 của vế phải
2) Áp dụng Viet tìm 1 2 1 2 x  x 11; x , x  4 Giả sử lập được phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2         X x x x X x x x . Tính 1 2 1 2 . X X X X     Cách giải: 1) Giải phương trình 2 3 2x  x  4( x 1)  6 x 1 Điều kiện: x 1 2 3 2x  x  4( x 1)  6 x 1   2 2  2x  x  2 x 1. 2 (x 1)  3  x 2x 1  2 x 12x 1  2x 1 x  2 x 1  0   1 2 1 0 2 2 1 0 1 2 1 1 0                     x x KTM x x x x  x 1 2 x 1 1  0 2  ( x 1 1)  0  x 1 1  x  2TM  Vậy S  2 2) Do 1 2 x , x là hai nghiệm của phương trình 2 x 11x  4  0 . Nên theo hệ thức Viet ta có: 1 2 1 2 x  x 11; x , x  4 Giả sử lập được phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2         X x x x X x x x . Dễ thấy 1 2 X  0, X  0 . Ta có:     1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 4 2 4            X x x x x X x x x x
Suy ra 1 2 1 2 X X 16 x x  32 (1) Ta lại có   2 2 1 2 1 2 X  X 16 x  x 16.11 176 2 2 1 2  X  X 176 2 2 1 2 1 2  X  X  2X X 176  2.32  240   2 1 2  X  X  240 1 2 1 2 4 15 4 15          X X X X Do 1 2 X  0, X  0 nên 1 2 X  X  4 15 Từ (1) và (2) suy ra phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2 x  4 15x  32  0 Câu 3 (VD): Phương pháp: 1) Phân tích    2 2 2q  p 1  p 1 p 1 4 từ đó suy ra p  2 2) Từ giả thiết suy ra A, B,C 11;13;17 Cách giải: 1) Từ giả thiết, ta có 2 2 2 p  2q 1 p lẻ, suy ra p lẻ Do p lẻ nên p 1, p 1 chẵn Khi đó    2 2 2q  p 1  p 1 p 1 4 nên 2 2 2q 4  q 2 . Mà q nguyên tố, nên q  2 Suy ra p  3 . Vậy p  3, q  2 2) Ta có A,B,C đều là số nguyên tố có 2 chữ số, không lớn hơn 31 và tổng 2 số bất kì trong 3 số này không vượt quá 31 . Suy ra A, B,C 11;13;17 Từ giả thiết ta cũng suy ra được: AC  B C  A B  C  A  B Vậy số áo của An là 13 , số áo của Bình là 17 , số áo của Chung là 11 Câu 4 (VD): Phương pháp: 1) Phân tích   2 2 2 4 Δ 2 4 2 4                    b b ac b f x a x a x a a a a 2) Đặt    2 2 p  x  x 1 y  y 1 ;q  xy