Title E2.2 - Parcial Bloque 2.pdf ✅

An ́alise Matem ́atica. Curso 2022-2023. Grao en Enxener ́ıa Inform ́atica. ESEI Ourense. Departamento de Matem ́aticas. Universidade de Vigo. Data: 10/11/2022 Bloque II APELIDOS NOME DNI NOTA 1. Consid ́erese a funci ́on f(x) =    sen(x) x , se x < 0, x + ln (x 2 + e), se x ≥ 0. a) f ́e continua en x = 0? Solucion: ́ Calculamos f(0) = ln(e) = 1 e os l ́ımites laterais l ́ım x→0− f(x) = l ́ım x→0− sen(x) x “ 0 0 ”, L’Hˆop. = l ́ım x→0− cos(x) 1 = 1, l ́ım x→0+ f(x) = l ́ım x→0+ x + ln (x 2 + e) = 1. Logo a funci ́on ́e continua en x = 0 porque existe o l ́ım x→0 f(x) = f(0). 2. f ́e derivable en x = 0? Solucion: ́ Para x 6= 0 podemos calcular f 0 (x) usando as regras de derivaci ́on: f 0 (x) =    x cos(x) − sen(x) x 2 , se x < 0, 1 + 2x x 2 + e , se x > 0. C ́omo f ́e continua en x = 0 podemos calcular as derivadas laterais usando os l ́ımites laterais de f 0 , ́e dicir, f 0 (0−) = l ́ım x→0− f 0 (x) = l ́ım x→0− x cos(x) − sen(x) x 2 “ 0 0 ”, L’Hˆop. = l ́ım x→0− cos(x) − x sen(x) − cos(x) 2x = l ́ım x→0− − sen(x) 2 = 0 2 = 0, f 0 (0+) = l ́ım x→0+ f 0 (x) = l ́ım x→0+ 1 + 2x x 2 + e = 1 + 0 e = 1, Logo a funci ́on non ́e derivable en x = 0 porque f 0 (0−) 6= f 0 (0+). 1