Title °Cours Calcul Différentiel FSR RABAT SMA5 10 11.pdf ✅

Université Mohammed V Rabat-Agdal Département de mathématiques Licence de mathématiques Année 2010/2011 Filière : SMA Pr. ELKHATTABI NOHA Cours Calcul différentiel
Table des mati`eres Introduction. 3 Rappels et compl ́ements. 7 0.1 Espace vectoriel norm ́e. Espace de Banach. . . . . . . . . . . . 7 0.2 Continuit ́e et alg ́ebre multilin ́eaire. . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.3 Le groupe Iso(E,F) et l’application u 7→ u −1 . . . . . . . . . . 11 1 Applications diff ́erentiables. 13 1.1 Diff ́erentielle en un point et sur un ouvert U. . . . . . . . . . . 13 1.2 D ́eriv ́ee directionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 D ́eriv ́ee d’une fonction compos ́ee. . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Op ́erations sur les d ́eriv ́ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Fonctions `a valeurs dans un produit d’espaces . . . . . . . . . 18 1.6 Fonctions d ́efinies sur un ouvert d’un produit d’espaces . . . . 20 1.7 Combinaison des cas pr ́ec ́edents . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Th ́eor`eme des accroissements finis et applications. 24 2.1 Fonctions `a variables r ́eelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Fonctions `a variable dans un espace de Banach . . . . . . . . . 26 2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Fonctions strictement diff ́erentiables . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Diff ́eomorphismes de classe C 1 31 3.1 D ́efinition et propri ́et ́e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Th ́eor`eme d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.3 Th ́eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1
4 D ́eriv ́ees d’ordre sup ́erieur-Formule de Taylor 36 4.1 D ́eriv ́ees d’ordre sup ́erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.1 D ́eriv ́ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.1 Rappel sur l’int ́egration des fonctions r ́egl ́ees : . . . . . 39 4.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3.1 Formule de Taylor : Cas particulier . . . . . . . . . . . 40 4.3.2 Formule de Taylor : Cas g ́en ́eral . . . . . . . . . . . . . 41 5 Maxima et Minima Relatifs 44 5.1 Extrema libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.2 Extrema li ́es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.3 Convexit ́e et minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4 Introduction au calcul des variations. . . . . . . . . . . . . . . 52 2
Introduction. Nous commen ̧cons par des rappels sur la notion de d ́eriv ́ee dans le cas le plus simple des fonctions `a variables r ́eelles et valeurs r ́eelles. D ́efinition 0.0.1. (fonction r ́eelle d ́erivable) Soit I un intervalle ouvert de R et f : I → R une fonction r ́eelle. On dit que f est d ́erivable en a ∈ I si et seulement si le rapport f(x) − f(a) x − a , admet une limite lorsque x tend vers a. Cette limite, comme toute limite de fonction si elle existe est alors unique ; on la note f 0 (a). Il s’agit ici d’un nombre r ́eel. On dit que f 0 (a) est la d ́eriv ́ee de f en a. Si f est d ́erivable en tout point a de I, on en d ́eduit une fonction I 3 a → f 0 (a) ∈ R, appel ́ee fonction d ́eriv ́ee de f. Remarquons que, dire que f est d ́erivable en a, ́equivaut `a dire qu’il existe un r ́eel f 0 (a), tel que la fonction I\{a} 3 x 7→ 1 x − a [f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a)] ∈ R tend vers 0 lorsque x tend vers a. Ceci revient encore `a dire qu’il existe un r ́eel f 0 (a) et une fonction a : I → R qui tend vers 0 lorsque x tend vers a tels que : ∀x ∈ I : f(x) − f(a) − f 0 (a)(x − a) = (x − a)a(x) (∗) Interpr ́etation g ́eom ́etrique. f 0 (a) est la pente de la tangente au graphe de f au point (a, f(a)). 3