Title HSG T7 - CĐ4.1 - CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN (36 TRANG).pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN 1 ĐS7.CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT. I. Số thực dương, số thực âm:  Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x  0  Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x  0  Nếu x là số thực dương hoặc x  0 , ta nói x là số thực không âm, ký hiệu x  0  Nếu x là số thực âm hoặc x  0 , ta nói x là số thực không dương, ký hiệu x  0 Chú ý:  Phủ định của mệnh đề " 0" a  là mệnh đề " a  0"  Phủ định của mệnh đề " 0" a  là mệnh đề " a  0" II. Khái niệm bất đẳng thức: 1. Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b , ký hiệu a b  nếu a b  là một số dương, tức là a b   0 . Khi đó ta cũng ký hiệu b a  Ta có: a b a b     0 Nếu a b  hoặc a b  , ta viết a  b . Ta có: a b    a - b 0 2. Định nghĩa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số Mệnh đề: " A lớn hơn B ", ký hiệu: A B  " A nhỏ hơn B ", ký hiệu: A B  " A lớn hơn hay bằng B ", ký hiệu A B " A nhỏ hơn hay bằng B ", ký hiệu A B được gọi là một bất đẳng thức Quy ước :  Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.  Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 1. Tính chất 1: a b a c b c        2. Tính chất 2: a b a c b c      Hệ quả 1: a b a c b c      Hệ quả 2: a c b a b c      3. Tính chất 3: a b a c b d c d         
CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN 2 4. Tính chất 4: neáu c > 0 neáu c < 0 ac bc a b ac bc        Hệ quả 3: a b a b      Hệ quả 4: neáu c > 0 neáu c < 0 a b c c a b a b c c          5. Tính chất 5: 0 0 a b ac bd c d          6. Tính chất 6: 1 1 a b 0 0 a b      7. Tính chất 7: n n a  b  n N  a  b * 0, 8. Tính chất 8: n a  b  n N  a  b n * 0, Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì : 2 2 a  b  a  b Nếu a và b là hai số không âm thì : 2 2 a  b  a  b IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối : 1. Định nghĩa:         neáu x 0 x neáu x < 0 x x R x 2. Tính chất: 2 2 x x     0 , x , x x , -x x 3. Với mọi a,b R ta có:  a b a b     a b a b     a b a b a b      . 0  a b a b a b      . 0 V. Bất đẳng thức trong tam giác: Nếu abc , , là ba cạnh của một tam giác thì:  a b c    0, 0, 0  b c a b c      c a b c a      a b c a b         a b c A B C     
CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN 3 PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI TẬP. A. BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: Tổng phân số tự nhiên I.Phương pháp giải. Với tổng phân số tự nhiên, với chương trình lớp 6 7  ta nên cho học sinh làm theo cách nhóm đầu cuối và so sánh giữa các nhóm với nhau, để tạo ra các ngoặc có cùng tử, rồi so sánh bình thường II.Bài toán. Bài 1:Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 4 16 36 64 100 144 196 2        Lời giải Ta có        1 1 1 1 1 1 1 4 16 36 64 100 144 196      2 2 2 2 1 1 1 1 ... 2 4 6 14             2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 2 1 2 3 7             2 2 1 1 1 1 1 ... 2 1 1.2 2.3 6.7               1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 2 2 3 6 7            1 1 1 1 1 2 4 7 2 28 2 Vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 4 16 36 64 100 144 196 2        Bài 2:Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 5 13 25 41 61 85 113 2        Lời giải Ta có        1 1 1 1 1 1 1 5 13 25 41 61 85 113 1 1 1 1 1 1 1 5 12 12 12 60 60 60        1 1 1 1 5 4 20 2     Vậy 1 1 1 1 1 1 1 1 5 13 25 41 61 85 113 2       
CHUYÊN ĐỀ 4- CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GTLN, GTNN 4 Bài 3:Chứng minh rằng: 11 1 1 1 1 1 3 ... 15 21 22 23 59 60 2        Lời giải Ta có      1 1 1 1 1 ... 21 22 23 59 60      40 1 1 1 ... 20 20 20 sè h1ng =  1 3 40. 20 2 Ta có      1 1 1 1 1 ... 21 22 23 59 60            20 20 1 1 1 1 1 1 ... ... 40 40 40 60 60 60 s s è h1ng è h1ng         1 1 1 1 5 25 22 11 20. 20. 40 60 2 3 6 30 30 15 Vậy 11 1 1 1 1 1 3 ... 15 21 22 23 59 60 2        Bài 4:Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 7 ... 41 42 43 79 80 12       Lời giải Nhóm thành hai ngoặc: Khi đó ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 41 42 43 60 61 62 63 80 VT                                                           20 20 1 1 1 1 1 1 20 20 1 1 7 ... ... 60 60 60 80 80 80 60 80 3 4 12 s s VT è h1ng è h1ng Bài 5: So sánh A và B biết : 2010 2011 2012 2011 2012 2010 A   và 1 1 1 1 ... 3 4 5 17 B      Lời giải 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2011 2012 2010 2010 2011 2010 2012 A                                           Tổng B có 15 số                                  1 1 1 1 1 1 5 5 5 67 72 ... ... ... 3 3 7 8 12 13 17 3 8 10 24 24 B Vậy A B  Bài 6: Cho 1 1 1 1 ... 5 6 7 17 M      . Chứng minh rằng: M 2  Lời giải Tổng M có 13 số