Title °Cours integration FPK KHOURIBGA 20 21 SMA5.pdf ✅

Universit ́e Sultan Moulay Slimane Facult ́e Polydisciplinaire de Khouribga D ́epartement de Math ́ematiques et Informatique Cours d’int ́egration Licence 3`eme ann ́ee SMA A. U. 2020-2021 Pr. Naoual Mrhardy
Table des mati`eres 1 Quelques Rappels 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Rappels sur la th ́eorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Famille de parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Op ́erations bool ́eennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Ensembles d ́enombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Image et image r ́eciproque d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Limite d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 La fonction Indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Th ́eorie de la mesure 11 2.1 Espases mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Alg`ebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 Tribu image r ́eciproque, tribu engendr ́ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.4 La tribu bor ́elienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.5 Classes monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Mesure positive sur un espace mesurable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Mesure positive sur une alg`ebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Th ́eor`eme de prolongement (Carath ́eodory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 Ensembles n ́egligeables, tribu et mesure compl ́et ́ee. . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Mesure de Borel, Mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 Mesure de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 Mesure de Lebesgue sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3 Mesure de Lebesgue sur R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Applications mesurables 27 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.1 D ́efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2
N.Mrhardy 3 3.2.2 Caract ́erisation de la mesurabilit ́e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Propri ́et ́es des fonctions mesurables r ́eelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Crit`eres de mesurabilit ́es des fonctions r ́eelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 Propri ́et ́es g ́en ́erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Approximation d’une fonction mesurable r ́eelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.1 Les fonctions ́etag ́ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.2 Th ́eor`eme fondamental d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.4.3 Transport d’une mesure, mesure image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Int ́egration 36 4.1 Int ́egration des fonctions mesurables positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1.1 Int ́egration sur des fonctions ́etag ́ees positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1.2 Int ́egrale d’une fonction mesurable positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.1.3 Th ́eor`eme de Beppo-Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.4 Propri ́et ́e vraie presque partout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.2 Int ́egration des fonctions r ́eelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.1 D ́efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2.2 Propri ́et ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.3 Th ́eor`eme de la convergence domin ́ee et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3.1 Application : Int ́egrale d ́ependant d’un param`etre. . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 Th ́eor`eme de transfert (Changement de variable). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5 Mesures d ́efinies par des densit ́es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.6 Comparaison de l’int ́egrale de Riemann avec l’int ́egrale de Lebesgue. . . . . . . . . . . 49 4.6.1 Cas d’une int ́egrale de Riemann sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.6.2 Cas d’une int ́egrale g ́en ́eralis ́ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.7 Mesures produits et th ́eor`emes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.7.1 D ́efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.7.2 Fonctions mesurables sur la tribu produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.7.3 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.7.4 Th ́eor`emes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.8 Modes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.8.1 Convergence presque partout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.8.2 Convergence presque uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.9 Convergence en mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5 Les espaces de Lebesgue L p et L p (1 ≤ p ≤ +∞) 59 5.1 Espaces L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.1.1 D ́efinitions et propri ́et ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.2.1 D ́efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 N.Mrhardy 5.2.2 In ́egalit ́e de H ̈older et in ́egalit ́e de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2.3 Convergence dans Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2.4 Compl ́etudes des espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64