Title MAB-10(Part-02).pdf ✅

Engineering Admission Program-2017 Content M-10 DTM¢vm GKv‡WwgK GÛ GWwgkb †Kqvi 1 cwieZ©‡bi cÖZ ̈‡q wbišÍi c_Pjv... Lecture Content  অধ্যায়-০৯: অন্তরীকরণ (১ম পত্র) M-10
Engineering Admission Program-2017 Content M-10 DTM¢vm GKv‡WwgK GÛ GWwgkb †Kqvi 2 cwieZ©‡bi cÖZ ̈‡q wbišÍi c_Pjv... অধ্যায়-০৯: অন্তরীকরণ (১ম পত্র)  টাইপভিভিক সমসযা ও সমাধ্ানঃ যে যকান ভিভমটটর Problem Solve করার আটে যেটে ভনটে যে ফাাংশটন মান েসাটি োস্তে মান পাওয়া োয় ভকনা। পাওয়া যেটি Simplify না কটর সরাসভর মান েসাটনা োটে। Type – 01 (a) ভিভমটটর অভস্তত্বশীিতা যকভিক। যকান ভেন্দুটত যকান ফাাংশটনর ভিভমট limx→a f(x) এর অভস্তত্ব থাকটে, েভে (a) lim x→a+ f(x) এোং limx→a− f(x) উিটয়র অভস্তত্ব থাটক এোং, (b) lim x→a+ f(x) = limx→a− f(x) হয়। এোটন, lim x→a+ f(x) = limx→a− f(x) এর মাটন হি ফাাংশটনর ডানসীমা = ফাাংশটনর োম সীমা। limx→a f(x) এর ডানসীমা হি x এর মান ক্রমান্বটয় a যথটক অটনক েড় সাংেযা হটত a এর কাছাকাভছ আসটি, যস সীমা পাওয়া োয় [অথ থাৎ x অটের ধ্নাত্মক অাংশ হটত ঋণাত্মক অাংটশর ভেটক অগ্রসর হটি প্রাপ্ত সীমা], অথ থাৎ limx→o f(a + h), h > o এর মান। এটক lim x→a+ f(x) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। অপরভেটক, limx→a− f(x) এর োম সীমা হি x এর মান ক্রমান্বটয় a অটপো েুদ্র মান হটত a এর ভেটক অগ্রসর হটি যে সীমা পাওয়া োয়। [অথ থাৎ x অটের ঋনাত্মক অাংশ হটত ধ্নাত্মক অাংটশর ভেটক অগ্রসর হটি প্রাপ্ত সীমা] অথ থাৎ lim h→o f(a − h) যেোটন h > o এটক f(x) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এই দুই ভিভমট একভট হটি limx→a f(x) এর অভস্তত্ব থাকটে। যেমন, limx→o |x| x অভস্তত্বশীি নয়। যকননা lim x→o+ |x| x = limx→o x x = 1 ভকন্তু limx→o− |x| x = limx→o− −x x = −1 [∴ x < o হটি |x| = −x] একইিাটে, limx→o |sinx| x , limx→o √1−cos2(x−1) x (x−1) ইতযাভে অভস্তত্বশীি নয়।  Example-01: limx→o x √1−cosx =? Solve: R. H. L = lim x→o+ x √1−cosx = lim x→o+ x √2sinx 2 = lim h→o h √2 sinh 2 = √2 [let, x = o + h when, x → o, h → o] L. H. L = limx→o− x √1−cosx = lim h→o o−h √1−cosh = lim h→o −h √2 sinh 2 = −√2 ∴ R. H. L ≠ L. H. L ∴ ভিভমটটর অভস্তত্ব নাই।  Example-02: একভট ফাাংশন f(x) ভনম্নভিভেতিাটে সাংজ্ঞাভয়তঃ limx→1 f(x) এর মান ভনণ থয় কর (েভে সীমা ভেেযমান থাটক) Solve: েেন x < 1, তেন f(x) = 2x + 1, কাটেই L. H. L = limx→1− f(x) = limx→1− (2x + 1) = 2.1 + 1 = 3 R. H. L = lim x→1+ f(x) = lim x→1+ (3 − x) = 3 − 1 = 2 এোটন, L. H. L ≠ R. H. L, কাটেই limx→1 f(x) এর মান ভেেযমান নাই। (Graphical Representation – এর pase) 2x + 1 েেন x ≤ 1 f(x) 3 − x েেন x > 1
Engineering Admission Program-2017 Content M-10 DTM¢vm GKv‡WwgK GÛ GWwgkb †Kqvi 3 cwieZ©‡bi cÖZ ̈‡q wbišÍi c_Pjv...  Problem-03: (1) A function f(x) is defined as follows − Find the value of limx→1 f(x). If it exists.  Graphical Representation of limit: Find limx→1 f(x) if exists? From Figure, L. H. L = limx→1− f(x) = limx→1− (2x + 1) = 3 R. H. L = lim x→1+ f(x) = lim x→1+ (3 − x) = 2 L. H. L ≠ R. H. L, So limit does not exist. Graphical Representation Of limit:  Limiting Value Problem:  Example – 01: limx→1 f(x) এর মান যের কর। েভে ভেেযমান থাটক। L. H. L = limx→1− f(x) = limx→1− (x 2 ) = 1 R. H. L = lim x→1+ f(x) = lim x→1+ (x 2 + 1) = 2 ∴ L. H. L ≠ R. H. L So, limx→1 f(x) does not exist. x 2 , x < 1 f(x) = 3 , x = 1 x 2 + 1 , x > 1 x 2 when x < 1 f(x) = 24 when x = 1 x 2 + 1 when x > 1 2x + 1 , x ≤ 1 f(x) = 3 − x , x > 1
Engineering Admission Program-2017 Content M-10 DTM¢vm GKv‡WwgK GÛ GWwgkb †Kqvi 4 cwieZ©‡bi cÖZ ̈‡q wbišÍi c_Pjv...  Example -02: f(x) = 3x+|x| 7x−5|x| হটি limx→o f(x) ভেেযমান ভকনা োচাই কর। L. H. L = limx→o− f(x) = limx→o− 3x+|x| 7x−5|x| = limx→o− 3x−x 7x+5x |x < o, হটি |x| = −x. = limx→o− 2x 12x = 1 6 R. H. L = lim x→o+ 3x+|x| 7x−5|x| = lim x→o+ 3x+x 7x−5x |x > o, |x| = x. = lim x→o+ 4x 2x = 2 ∴ L. H. L ≠ R. H. L ∴ limx→o f(x) does not exist.  Type – 02: Relation between continuity (অভেভিন্নতা) & differentiability (অন্তরীকরণ যোেযতা) Fig a & b → হটি continuous ভকন্তু figure c discontinuous. কারণ, x = o ভেন্দুটত অসাংজ্ঞাভয়ত েটি ঐ ভেন্দুটত y = x 2 x ফাাংশনভট অভেভিন্ন।  অভেভিন্নতার শত থঃ যকান ফাাংশন f(x),x = a ভেন্দুটত অভেভিন্ন হটে, েভে, limx→a f(x) = f(a) হয়। অথ থাৎ lim x→a+ f(x) = limx→o− f(x) = f(a).  Example-01: Show that, f(x) = 1 x−2 is discontinuous at x = 2 Solve: এোটন, f(x) = 1 x−2 ∴ lim x→2+ f(x) = lim h→o+ f(2 + h) = lim h→o 1 2+h−2 = lim h→o+ ( 1 h ) = +∞ এোং, limx→2− f(x) = lim h→o (2 − h) = lim h→o 1 2−h−2 = lim h→o (− 1 h ) = −∞ ∴ lim x→2+ f(x) ≠ limx→2 f(x) অথ থাৎ limx→2 f(x) ভেেযমান নাই। আোর, x = 2 ভেন্দুটত f(x) = 1 x−2 অসাংজ্ঞাভয়ত।