Title CHƯƠNG VI. CỰC TRỊ HÌNH HỌC.doc ✅

CHƯƠNG VI. CỰC TRỊ HÌNH HỌC I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Bất đẳng thức thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác ABACBCABBC Chú ý rằng: a. Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: .ABBCAC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A, C. b. Với 3 điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có: .ABACBC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A, C. c. Cho hai điểm A, B nằm về một phía đường thẳng .d Điểm M chuyển động trên đường thẳng .d Gọi 'A là điểm đối xứng với A qua .d Ta có kết quả sau: (Hình 1) + ''.MAMBMAMBAB Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của 'AB và đường thẳng (. dM trùng với 0)M + .MAMBAB Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của AB và đường thẳng ( dM trùng với 1.)M d. Cho hai điểm A, B nằm về hai phía đường thẳng .d Điểm M chuyển động trên đường thẳng .d Gọi 'A là điểm đối xứng với A qua .d Ta có kết quả sau: (Hình 2) + .MAMBAB Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của AB và đường thẳng ( dM trùng với 0)M + ''.MAMBMAMBAB Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của 'AB và đường thẳng ( dM trùng với 1.)M e. Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường xiên. II. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. Chứng minh rằng: a. 1 2MBMCABACABBCCAMAMBMCABBCCA b. BMMNNCABAC trong đó điểm N nằm trong tam giác sao cho MN cắt hai cạnh AB, AC Lời giải:
a. Đường thẳng BM cắt AC ở P Áp dụng BĐT (1) ta có: MBMCMBMPPC BPPCABAPPCABAC   b. Theo trên ta có: ;;BCMBMCABACCAMCMAABBC .ABMAMBACBC Cộng theo từng vế các BĐT trên ta có điều phải chứng minh. c. Áp dụng câu 1) ta có: BMMNNCBEEMMNNFFC .BEEFFCBEEAAFFCABAC Ví dụ 2. Cho tam giác ABC và 3 trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh rằng: a. 22 ABACBCABAC AM  b. 3 4 ABBCCA AMBNCPABBCCA  c. Giả sử .ABAC Gọi AD, AM theo thứ tự là đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 22 ABACBCABAC ADAM  Lời giải: + Xét các tam giác MAB, MAC ta có: ,.AMABBMAMACMC Suy ra 22AMABACMCMCAMABACBC + Gọi D là điểm đối xứng với A qua M thì ABDC là hình bình hành nên ABCD và 2.ADAM Trong tam giác ACD ta có: 2ADACCDAMABAC Như vậy: . 22 ABACBCABAC AM  b, Áp dụng bất đẳng thức ở câu a) Cho 3 đường trung tuyến AM, BN, CP ta có: , 22 ABACBCABAC AM  ;. 2222 BCABACACBCBCACABACBC BNCP  Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta có: 3 4 ABBCCA AMBNCPABBCCA  c, Trong tam giác ABD, ADC có ; .ABADBDACADDC Cộng theo từng vế hai BĐT trên được: 2. 2 ABACBC ABACADBCAD  Kết quả này vẫn đúng với D là điểm bất kỳ nằm bên trong đoạn BC.
Dựng .AHBC Với ABAC thì .AMAD Với ABAC thì BHCHBMBHM thuộc đoạn BH. Hơn nữa ADBADCADB tù. Do đó D thuộc đoạn BH. Lấy điểm P trên AB sao cho APACADPADC (c.g.c) ,DPDC .APDACD + Nếu 90ACB (hình) thì 9090APDACBBPDACBPBDBDPDCD BMBDMHDHAMAD + Nếu 90ACB (hình) thì BPDACHADCABC .BDPDCDBMBDMHDHAMAD Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm là điểm H. Chứng minh rằng: 2 3HAHBHCABBCCA Lời giải: Dựng đường thẳng qua H song song với AB cắt AC tại D. Dựng đường thẳng qua H song song AC cắt AB tại E. Tứ giác AEHD là hình bình hành nên ,ADHEAEHD Xét tam giác AHD ta có: HAHDADHAAEAD (1). Vì //HEAC mà .ACBHHEBH Trong tam giác vuông HBE ta có: HBBE (2) Tương tự ta có: HCDC (3). Cộng các bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta suy ra .HAHBHCAEEBADDCABAC Tương tự ta cũng có: 2, 3HAHBHCACBCHAHBHCABBCHAHBHCABBCCA Ví dụ 4. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trung điểm của BC. M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng  .BHMB Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho .CNBM Gọi I là trung điểm của MN. a, Chứng minh 4 điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn. b, Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều. c, Xác định vị trí của điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội 2014). Lời giải: a, Xét tam giác BOM và tam giác CON ta có: BMCN giả thiết, ,OBOCR 30OBMOCN (do tam giác ABC đều). Suy ra BOMCON (c.g.c) Suy ra OMON hay tam giác OMN cân tại O, do I là trung điểm của MN suy ra OIMN 90OIMOHM nên tứ giác OMHI nội tiếp (Có hai đỉnh liên tiếp I, H cùng nhìn OM góc bằng 90) b, Do điểm P nằm trên trung trực cạnh MN nên PMPN (1). Ta có 180OMBOMCOMBONC suy ra tứ giác OMNC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180) nên  180120 120MONNCMPOMPON suy ra  180POMPBM tứ giác PBMO nội tiếp nên  30.OPMOBM Chứng minh tương tự ta cũng có:  30OPNOAN 60MPN (2). Từ (1) và (2) suy ra tam giác PMN là tam giác đều. c, Từ chứng minh ở câu a, b suy ra 30.OMNOHIOCN Suy ra //,HIAB gọi K là trung điểm của AC thì H, I, K thẳng hàng.
Tam giác IAB có AB không đổi nên chu vi tam giác nhỏ nhất khi IAIB nhỏ nhất. Đường thẳng HI cố định. Gọi D là điểm đối xứng với B qua HI thì điểm D cố định, suy ra độ dài AD không đổi. Ta có .IBIDIAIBIAIDAD Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A, D, I thẳng hàng. Tức điểm I chính là giao điểm của AD và HK. Mặt khác ta dễ chứng minh được AHDK là hình bình hành. Nên dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm của HK, khi đó điểm .MH 2. Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. 3. Cho đường tròn ;OR và dây cung BC cố định. Điểm A di chuyển trên cung BC khi đó diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi A là điểm chính giữa cung BC. Chứng minh: Trường hợp 1: Điểm A thuộc cung lớn BC Ta dựng đường cao AD của tam giác ABC thì 1 .. 2ABCSADBC Do BC không đổi nên ABCS lớn nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất. Gọi M là trung điểm của BC thì 2 2 4 BC ADAMAOOMRR Suy ra 2 21 .. 24ABC BC SBCRR     Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi DM và O, M, A thẳng hàng. Hay 0AA là điểm chính giữa cung lớn BC. Trường hợp 2: Điểm A thuộc cung nhỏ BC. Gọi I là giao điểm AO với dây cung BC. Ta có: ADOMAIIORADROM Vậy 2 21 .. 24ABC BC SBCRR     Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .DIM Hay 1AA là điểm chính giữa cung nhỏ BC. 4. Cho đường tròn ;OR và dây cung BC cố định. Điểm A di chuyển trên cung BC khi đó chu vi tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi A là điểm chính giữa cung BC. Trường hợp 1: Điểm A thuộc cung lớn BC. Ta có chu vi tam giác ABC bằng: .ABACBC Do BC không đổi nên chu vi tam giác lớn nhất khi và chỉ khi ABAC lớn nhất. Để tạo ra ABAC ta làm như sau: Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho ANAC khi đó ta có: Tam giác NAC cân tại A và 1 2ANCBAC không đổi. Suy ra điểm N thuộc cung chứa góc 1 2BAC dựng trên đoạn BC (phần nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A). Ta có: .ABACABANBN Nên ABAC lớn nhất khi và chỉ khi BN lớn nhất, tức là BN là đường kính của đường tròn chứa cung chứa góc 1 2BAC dựng trên đoạn BC (phần nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A) hay  190.BCNNN Do 111,ANAC tam giác 1BCN vuông tại C suy ra 1111ANACAB hay 1AA là điểm chính giữa cung lớn BC. Trường hợp A thuộc cung nhỏ BC ta cũng làm tương tự.