Title Chương 2_Bài 2_Cấp số cộng_Đề bài_Toán 11_CD.pdf ✅

BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d , tức là: 1 ( 2). n n u u d n     Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu un  là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n  2 , ta có: 1 . n n u u d    Chú ý: Khi d  0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi. II.SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n ― 1)d với n ≥ 2. Nhận xét: Từ công thức un = u1 +(n ―1)d, ta có: n = un ― u1 d +1 với n ≥ 2. III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng un  có số hạng đầu 1 u và công sai d . Đặt n 1 2 3 n S  u  u  u  u . Khi đó:  1  . 2 n n u u n S   Nhận xét: Do un  u1  n 1 d nên u1  un  2u1  n 1 d . Suy ra 2 1  1 2 n u n d n S        . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? a) 10,2,14,26,38 ; b) 1 5 11 7 , ,2, , 2 4 4 2 c) 1, 2, 3, 4, 5 ; d) 1,4,7,10,13 . Bài 2. Trong các dãy số un  với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu 1 u và công sai d . a) 3 2 n u   n b) 3 7 5 n n u   c) 3 n n u  . Bài 3. Cho cấp số cộng un  có số hạng đầu 1 u  3, công sai d  5. a) Viết công thức của số hạng tổng quát n u . b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không? Bài 4. Cho cấp số cộng un  có 1 2 u  4,u 1. Tính 10 u . Bài 5. Cho cấp số cộng un  với 1 1 3 u  và 1 2 3 u  u  u  1. a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát n u . b) Số - 67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không? Bài 6. Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số un  với 0,3 5 n u  n  với mọi n 1.
Bài 7. Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: 75 5 1. n x   n  (Nguồn: https:///bibabo.vn) a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét? b) Dãy số  xn  có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét? Bài 8. Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. Phuơng án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu. Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi: a) Kí hợp đồng lao động 3 năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm? C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Nhận dạng 1 dãy số là cấp số cộng 1. Phương pháp Sử dụng định nghĩa un  là một cấp số cộng khi và chỉ khi 1 , n n u u d    với d là một hằng số. Để chứng minh dãy số un  là một cấp số cộng, ta xét n 1 n d u u    • Nếu d là hằng số thì un  là một cấp số cộng với công sai d. • Nếu d phụ thuộc vào n thì un  không là cấp số cộng. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2020 2021. n u  n  b) Dãy số un  với 2 5. n u   n Ví dụ 2. Chứng minh các dãy số sau không phải là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2 1. n u  n  n  b) Dãy số un  với  1 3 . n n u    n Dạng 2. Xác định số hạng , công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng 1. Phương pháp • Xác định một cấp số cộng là xác định số hạng đầu 1 u và công sai d • Từ những giải thiết ta thường lập hệ phương trình theo ẩn số 1 u và d rồi giải hệ đó. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng un  có 3 u 15 và d  2 . Tìm . n u Ví dụ 2: Một cấp số cộng có 8 số hạng. Số hạng đầu là 5, số hạng thứ tám là 40. Khi đó công sai d của cấp số cộng đó là bao nhiêu? Ví dụ 3: Cho cấp số cộng un  có 1 u  123 và 3 15 u  u  84 . Tìm số hạng 17 u .
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng un  có 1 u  123 và 3 15 u  u  84 . Tìm số hạng 17 u . Cho cấp số cộng un  có 1 5 u  2u  0 và 4 S  14 . Tính số hạng đầu 1 u và công sai d của cấp số cộng. Dạng 3. Tính tổng các số hạng trong một cấp số cộng 1. Phương pháp Tính tổng n số hạng đầu tiên nhờ công thức:     1 n 1 n n u u n 2u n 1 d S 2 2          2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng un  có 1 u  4 và d  5. Tính tổng 100số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Ví dụ 2: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tính tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên Ví dụ 3: Tính tổng S 1 2  3 4  5 ... 2n 1  2n với n 1 và n. Ví dụ 4: Cho cấp số cộng un  thỏa mãn 2 8 9 15 u  u  u  u 100. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Ví dụ 5: Cho cấp số cộng un  có công sai d  3 và 2 2 2 2 3 4 u  u  u đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 100 S của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Ví dụ 5. Biết 4 8 12 16 u  u  u  u  224. Tính 19 S . Dạng 4: Giải phương trình ( tìm x trong cấp số cộng) 1. Phương pháp Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a  c  2b. Sử dụng các tính chất của cấp số cộng 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho các số 4;1;6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x. Ví dụ 2: Nếu các số 5  m; 7  2m; 17  m theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì m bằng bao nhiêu? Ví dụ 3: Với giá trị nào của x và y thì các số 7; x; 11; y theo thứ tự đó lập thành một cấp số công? Dạng 5. Chứng minh một hệ thức trong cấp số cộng lập thành cấp số cộng, bài toán có sử dụng yếu tố cấp số cộng 1. Phương pháp Nếu un  là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là 1 1 . 2 k k k u u u     Hệ quả: Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a  c  2b. Sử dụng các tính chất của cấp số cộng 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Chứng minh rằng ba số dương a,b,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi các số 1 1 1 , , b  c c  a a  b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Ví dụ 2. Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng a) 2 2 a  2bc  c  2ab. b)   2 2 a  8bc  2b  c .
Ví dụ 3. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a và ba cạnh lập thành một cấp số cộng. Tính độ dài ba cạnh của tam giác theo a. Ví dụ 4. Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: 4 2 2 x 10x  2m  7m  0 . Dạng 6. Toán thực tế Ví dụ 1. Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất (bậc thứ nhất) nằm ở độ cao 950 m so với mực nước biển, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,5 m. Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 12 có độ cao là bao nhiêu mét so với mực nước biển? Ví dụ 2. Một hội trường lớn có 35 ghế ở hàng đầu tiên, 37 ghế ở hàng thứ hai, 39 ghế ở hàng thứ ba và cứ tiếp tục theo quy luật như vậy. Có tất cả 27 hàng ghế. Hỏi hội trường đó có bao nhiêu ghế? Ví dụ 3. Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu đồng. Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu đồng. Nếu là người được tuyền dụng vào doanh nghiệp trên, em nên chọn phương án nào khi: a) Kí hợp đồng lao động 3 năm? b) Kí hợp đồng lao động 10 năm? Ví dụ 4. Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng? Ví dụ 5. Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, ..., lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp. Ví dụ 6. Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng 2,4 m ở đáy và rộng 1,2 m ở đỉnh (hình vể bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước 10 cm10 cm phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường đó?