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Centro de Estudios Matemáticos Mauro Quintana CEM−MINE06AG Pauta MiniEnsayo PAES M2 N°3 Prueba de Acceso a la Educación Superior Creada por Andry Guevara
1. Benito est ́a llenando una cubeta de agua con un grifo, y aumenta el flujo de este grifo cada 1 hora tal que el flujo sea 4 veces mayor. Si en la primera hora llen ́o 500 mm3 de la cubeta, ¿Cu ́antos mm3 tendr ́a la cubeta despu ́es de 3 horas? (a) 4.500 mm3 (b) 1.500 mm3 (c) 1, 5 L (d) 10, 5 cm3 (e) 10.500 m3 Alternativa correcta = D Si el flujo se cuadriplica cada 1 hora, esto significa que si en la primera hora llen ́o 500 mm3 , en la segunda llenar ́a 2.000 mm3 m ́as, y as ́ı sucesivamente. Expresando esto matem ́aticamente hasta la tercera hora se obtiene: 500 + 4 · 500 + 4 · 4 · 500 = 500 + 2.000 + 8.000 = 10.500 Como 10.500 mm3 no est ́a en las alternativas, es necesario cambiar de unidades, en este caso, a cm3 . Siendo D correcta. 2. Si a ̸= 0, ¿Cu ́al de las siguientes alternativas es siempre verdadera? (a) ax2 + bx + c = 0 tiene una ́unica soluci ́on real. (b) ax2 + bx + c = −6 tiene dos soluciones reales e iguales. (c) x 2 + ax − a = 0 no tiene soluci ́on en los reales. (d) x 2 − a = 0 no tiene soluci ́on en los reales si a > 0. (e) x 2 + ax = 0 tiene dos soluciones reales y distintas. Alternativa correcta = E Para poder caracterizar las soluciones de una ecuaci ́on cuadr ́atica de la forma ax2 + bx + c = 0 es necesario calcular su discriminante ∆ = b 2 − 4ac. Si el discriminante es positivo se dice que tiene dos soluciones reales distintas, si es 0 se dice que tiene dos soluciones reales e iguales, y si es negativo se dice que no tiene soluci ́on en los reales. En este ejercicio las ́unicas alternativas que permiten caracterizar el discriminante son (c), (d) y (e), ya que las otras alternativas contienen constantes desconocidas (notablemente, b y c). (c) (d) (e) ∆ = a 2 − 4a ∆ = 02 + 4a ∆ = a 2 − 4 · 0 = a(a − 4) = 4a = a 2 En (c) si a = 5 el discriminante es igual a 5, valor positivo, por lo que existen casos en los que la ecuaci ́on planteada si tiene soluci ́on en los reales. En (d) como a > 0, el discriminante siempre ser ́a positivo, por lo que siempre tendr ́a soluci ́on en los reales. En (e) como el discriminante es igual a un n ́umero al cuadrado, este ser ́a siempre positivo, por lo que siempre tendr ́a dos soluciones reales y distintas. Siendo E correcta. CEM Mauro Quintana Pauta MiniEnsayo PAES M2 MINE06AG Andry Guevara