Title Đáp án Toán chuyên lần 2 - 2025.docx ✅

Trang 1 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU TRUNG TÂM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC NGƯỜI HỌC (PTNK-Hub) **** ĐÁP ÁN THI THỬ TUYỂN SINH LỚP 10 – LẦN 2 NĂM 2025 Môn thi: TOÁN CHUYÊN ******** ĐÁP ÁN Bài 1. (2 điểm) Cho phương trình 2(21)10xmxm (1), m là tham số. a) Điều kiện phương trình có hai nghiệm trái dấu: 1 01 1 am m c   . (0.25đ) Theo định lý Viet: 12 12 21 1 xx x m mx      . Từ điều kiện: 121212||2||32323xxxxxx . (0.25đ) Sử dụng định lý Viet ta có: 1 2 41 3 24 3 x x m m            (0.25đ) Thế 12,xx vào phương trình (1), ta có 2 2 4141 33 24 (21)10 (224 1 3) 310 m mmm mm mm                 (vô nghiệm) Vậy không tìm được m thỏa bài toán. (0.25đ) b) Lấy vế trừ vế ta được  3322 22 (22)()()0 ()222()10 xyxyxy xyxxyyxy   (0.25đ) 222()()()10xyxyxyy xy x     (0.25đ) (Do 2 2 2222 0()()113 24xyxxxyxyyy     ) (0.25đ) Thế vào (1): 200 0 11 xy xx xy      . (0.25đ) Bài 2. (1.5 điểm) a) Áp dụng BĐT Cauchy 3 số: 2223222431abcabccab . (0.25đ) Đặt 3tabc , ta có: 32213141014tttttt .
Trang 2 Suy ra: 1abc . Dấu “=” xảy ra khi 1abc . (0.25đ) b) Ta có 2222abcabcabcabc (0.25đ)   222 244 32450* abcabbccaabcabc abcabbccaabc   (0.25đ) Do 1abc nên 3411310abcabcabcabc . (0.25đ) Mà 322233abbccaabc nên (*) đúng. Vậy 2abcabc . Dấu “=” xảy ra khi 1abc . (0.25đ) Bài 3. (2 điểm) a) Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử ngược lại. Khi đó có 3 trường hợp sau  TH1: a, b đều lẻ, suy ra vô lý vì vế phải của (*) là số chẵn nhưng vế trái của (*) là số lẻ. (0.25đ)  TH2: a lẻ, b chẵn, suy ra vô lý vì vế phải của (*) là số chẵn nhưng vế trái của (*) là số lẻ.  TH3: a chẵn, b lẻ, suy ra vô lý vì vế phải của (*) là số lẻ nhưng vế trái của (*) là số chẵn. (0.25đ) b) Do ,ab đều chẵn nên ta đặt 2,2axby . Thế vào (*): 2232848412yxyyyxyx . (0.25đ) Do đó  2 2 22 |2|281xy yxyyxyy y    ℤ (0.25đ) Suy ra 4181by là số chính phương. (0.25đ) c) Ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử kan với ,nk là các số nguyên dương và 3k . Gọi (,)dab , khi đó ;adxbdy với x, y là các số nguyên dương thỏa (,)1xy . Thế vào (*): 233;()xdyxyxxydy . Mà (,)1xy nên xy chia hết cho yxy⋮ . Do (,)1xy , ta suy ra 1y . (0.25đ) Nên: abx . Thế lại bài toán: 23abab221kbxxxbxanx . Do 2(,1)1xx nên 212;1kkxnxn . Ta có hai trường hợp  TH1: k là số chẵn, suy ra  /2 1 /2 2 21 k k xn xn      . Trừ vế theo vế: /2/21/21/22/22222121211211...kkkkknnnnnnnn . Suy ra: /21/21/22221121...1kkknnnn⋮ (vô lý vì /21/21/22221121...1 2 kkkk nnnn  ). (0.25đ)

Trang 4 Bài 5. (1.5 điểm) a) Do có 15 cái bàn mà có 16 bạn nam nên theo nguyên lý Dirichlet (0.25đ) thì tồn tại 1 bàn có đúng 2 bạn nam ngồi. (0.5đ) b) Số N lớn nhất là 15. Vì nếu chọn nhóm có 16 học sinh thì theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại ít nhất hai bạn ngồi cùng 1 bàn. (0.5đ) Với 15N , ta chọn nhóm học sinh bằng cách mỗi bàn chọn lấy đúng 1 người. (0.25đ)