Title Chương 3_Bài 2_Giới hạn hàm số_CD_Lời giải.pdf ✅

BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa Ta viết khoảng K thay cho các khoảng a;b,;b,a; ,;  . Tổng quát ta có: Cho khoảng K chứa điểm 0 x và hàm số f  x xác định trên K hoặc trên K \x0. Hàm số f  x có giới hạn là số L khi x dần tới 0 x nếu với dãy số  xn  bất kì, xn  K \xo  và n 0 x  x thì f  xn   L . Kí hiệu:   0 limx x  f x  L hay f  x  L khi 0 x  x . Nhận xét: 0 0 0 lim ; lim x x x x x x c c     , với c là hằng số. Chú ý: Hàm số f  x có thể không xác định tại 0 x  x nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới 0 x . 2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số Ta thừa nhận định lí sau: a) Nếu lim   o x x f x L   và lim    ,  o x x g x M L M    thì lim     o x x f x g x L M         ; lim     o x x f x g x L M         lim  .   . o x x f x g x L M           lim ( o x x f x L  g x M  nếu M  0) . b) Nếu f  x  0 và lim   o x x f x L   thì L  0 và lim   o x x f x L   . 3. Giới hạn một phía -Trong trường hợp tổng quát, ta có các định nghĩa sau: Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a; x0 . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y  f  x khi 0 x  x nếu với dãy số  xn  bất kì, n 0 a  x  x và n 0 x  x , ta có f  xn   L . Kí hiệu:   0 lim x x f x L    . Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng  x0 ;b. Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y  f  x khi 0 x  x nếu với dãy số  xn  bất kì, 0 n x  x  b và n 0 x  x , ta có f  xn   L . Kí hiệu: lim   o x x f x L    . Định lí sau đây cho ta mối liên hệ giữa "giới hạn hai phía" lim   o x x f x  với giới hạn bên trái lim   o x x f x   và giới hạn bên phải lim   o x x f x   .
  0 limx x f x L   khi và chỉ khi     0 0 lim lim x x x x f x f x L       II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: a) Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;  . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn là số L khi x   nếu với dãy số  xn  bất kì, n x  a và n x   , ta có f  xn   L . Kí hiệu: lim   x f x L   hay f  x  L khi . b) Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng ;a. Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn là số L khi x   nếu với dãy số  xn  bất kì, n x  a và n x   , ta có f  xn   L . Kí hiệu: lim   x f x L   hay f  x  L khi x   . Chú ý Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: lim ; lim ; lim 0; lim 0. k k x x x x c c c c c c    x  x     Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi 0 x  x vẫn còn đúng khi x   hoặc x   . III. GIỚI HẠN VÔ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;  . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn là  khi x a   nếu với dãy số  xn  bất kì, n x  a và n x  a , ta có f  xn    . Kí hiệu lim   x a f x      hay f  x   khi x a   . Các trường hợp lim   ; lim   ; lim   x a x a x a f x  f x  f x              được định nghĩa tương tự. Chú ý: Ta có hai giới hạn cơ bản sau: 1 1 lim ; lim . x a x a x a x a             IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC -Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;  . Ta nói hàm số y  f  x có giới hạn là  khi x   nếu với dãy số  xn  bất kì, n x  a và n x   , ta có f  xn    . Kí hiệu: lim   x f x      hay f  x   khi x   . Các trường hợp lim   ; lim   ; lim   x x x f x f x f x                 . được định nghĩa tương tự. x  
Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau: lim k x x      với k là số nguyên dương. lim k x x      với k là số nguyên dương chẵn. lim k x x      với k là số nguyên dương lẻ. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau: a) 2 3 limx x  b) 2 5 25 lim x 5 x  x  Lời giải a) 2 2 3 lim ( 3) 9 x x     b)      2 5 5 5 25 5 5 lim lim lim x 5 10 x 5 x 5 x x x x  x  x           . Bài 2. Biết rằng hàm số f  x thoả mãn   2 lim 3 x f x    và   2 lim 5 x f x    . Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn   2 limx f x  hay không? Giải thích. Lời giải Ta có:   2 lim 3 x f x    và   2 lim 5 x f x    suy ra     2 2 lim 3 5 lim x x f x f x        nên không tồn tại   2 limf x x  . Bài 3. Tính các giới hạn sau: a)   2 2 lim 4 3 x x x    b) 2 3 5 6 limx 3 x x  x   c) 1 1 limx 1 x  x   Lời giải a)   2 2 2 lim 4 3 2 4.2 3 1 x x x         . b)      2 3 3 3 5 6 3 2 lim lim lim 2 1 x 3 x 3 x x x x x x  x  x            . c)    1 1 1 1 1 1 1 lim lim lim x 1 x 1 1 x 1 2 x x  x  x x  x          . Bài 4. Tính các giới hạn sau: a) 9 1 lim x 3 4 x  x   ; b) 7 11 limx 2 3 x  x  ; c) 2 1 limx x  x  ; d) 2 1 limx x  x  e) 6 1 lim x x 6    g) 7 1 lim x x 7    Lời giải a) 1 1 9 9 9 1 lim lim lim 3 3 4 4 4 3 3 x x x x x x x x x x x                         .
b) 11 11 7 7 7 11 7 lim lim lim 2 3 3 3 2 2 2 x x x x x x x x x x x                         . c) 2 2 2 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 x x x x x x  x  x  x       . d) 2 2 1 1 1 lim lim 1 x x x x x  x  x      . e) 6 1 lim x x 6       . f) 7 1 lim x x 7       . Bài 5. Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được     50 0 4 t N t t t    bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính lim   t N t  và cho biết ý nghĩa của kết quả. Lời giải Ta có:   50 50 50 lim lim lim lim 50 4 4 4 1 1 t t t t t t N t t t t t                  . Ý nghĩa: Tối đa một nhân viên chỉ có thể lắp được 50 bộ phận mỗi ngày. Bài 6. Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C x  50000 105x . a) Tính chi phí trung bình   _C x để sản xuất một sản phẩm. b) Tính   _ limx C x  và cho biết ý nghĩa của kết quả. Lời giải a) Chi phí trung bình   _C x để sản xuất một sản phẩm là:   _ 50000 105x C x x   (sản phẩm). b) Ta có:   _ 50000 105 50000 105 lim lim lim x x x x x x C x   x  x           50000 lim 105 105 x x          . Ý nghĩa: Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung bình chỉ tối đa là 105 nghìn đồng. C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn 1. Phương pháp Nếu hàm số fx xác định trên K 0  x thì     0 x x0 lim f x f x .   2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng