Title Chuyên đề 5_Đề bài.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12- PHIÊN BẢN 2025-2026 1 CHUYÊN ĐỀ 5: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN THỰC TẾ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG Giả sử y là một hàm số của x và ta viết y f x = ( ) . Nếu x thay đổi từ 1 x đến 2 x , thì sự thay đổi của x là 2 1 D = - x x x và sự thay đổi tương ứng của y là D = - y f x f x  2 1   . Tỉ số  2 1    2 1 y f x f x x x x D - = D - được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trên đoạn  x x 1 2 ; . Giới hạn     2 1 2 1 0 2 1 lim lim x x x y f x f x D ® ® x x x D - = D - được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại điểm 1 x x = . Như vậy, đạo hàm f a¢( ) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y f x = ( ) đối với x tại điêm x a = . Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế: Nếu s s t = ( ) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v s t = ¢( ) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi củ̉a độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a t v t s t ( ) ( ) ( ) = = ¢ ¢¢ . Nếu C C t =  là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t , thì C t ¢( ) là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t . Nếu P P t = ( ) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t , thì P t ¢( ) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t . Nếu C C x = ( ) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời C x ¢( ) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên. Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C x ¢( ) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ x +1 (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống). Ví dụ 1. Khi bỏ qua sức cản của không khi, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m / s là 2 h t t t ( ) 2 24,5 4,9 = + - (theo Vật lí đọi cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây. b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu? c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu? Lời giải a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là v h t t = = - ¢( ) 24,5 9,8 ( m / s). Do đó, vận tốc của vật sau 2 giây là v(2) 24,5 9,8 2 4,9( m / s) = - × = .

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12- PHIÊN BẢN 2025-2026 3 Lời giải a) Hàm chi phí biên là 2 C x x x ¢( ) 300 5 0,375 = - + . b) Ta có: 2 C¢(200) 300 5 200 0,375 200 14300 = - × + × = . Chi phí biên tại x = 200 là 14300 nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng 14300 nghìn đồng. c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 làC C (201) (200) 1004372,625 990000 14372,625 - = - = (nghìn đồng) Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên C¢(200) đã tính ở câu b. Ví dụ 4. Để loại bỏ x% chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là 300 ( ) (triêu dông), 0 100. 100 x C x x x = £ < - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y C x = ( ) . Tự đó, hãy cho biết: a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi x tăng? b) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao? Lời giải Xét hàm số 300 ( ) ,0 100 100 x y C x x x = = £ < - . Ta có: - 2 30000 0 (100 ) y x ¢ = > - , với mọi xÎ[0;100) . Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng [0;100) . - 100 100 300 lim ( ) lim x x 100 x C x x ® ® - - = = +¥ - , nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x =100 . Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số như Hình 1.34.
CHUYÊN ĐỀ TOÁN THỰC TẾ 12- PHIÊN BẢN 2025-2026 4 a) Chi phí cần bỏ ra C x( ) sẽ luôn tăng khi x tăng. b) Vì 100 lim ( ) x C x ® - = +¥ (hàm số C x( ) không xác định khi x =100) nên nhà máy không thể loại bỏ 100% chất gây ô nhiễm không khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng nữa) 2. MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ ĐƠN GIẢN Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả để giải những bài toán tối ưu hoá. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi phí. Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng lời thành bài toán tối ưu hoá toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số. Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá: Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán. Bước 2. Chọn một đại lượng thich hợp nào đó, kí hiệu là x , và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x . Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x . Tìm tập xác định của hàm số Q Q x = ( ) . Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q Q x = ( ) bằng các phương pháp đã biết và kết luận. Ví dụ 5. Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Lời giải Đổi 1 lít 3 =1000 cm . Gọi r( cm) là bán kính đáy của hình trụ, h( cm) là chiều cao của hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ là: 2 S r rh = + 2 2 p p . Do thể tích của hình trụ là 3 1000 cm nên ta có: 2 1000 = = V r h p , hay 2 1000 h p r = . Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ là: 2 2000 S r r 2 , 0 r = + > p .