Title TOÁN THỰC TẾ - LÓP 12 KNTT.docx ✅

BÀI 8: BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ Câu 1. Những căn nhà gỗ trong Hình 8.1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác .OABOAB như trong Hình 8.1b. Với hệ trục tọa độ Oxyz thể hiện như Hình 8.1b (đơn vị đo lầy theo centimét), hai điểm A và B có tọa độ lần lượt là 240; 460; 0 và 120; 450; 300 . Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ hay không? (Bài toán mở đầu- Nguồn sách kết nối trí thức) Lời giải Vì điểm A có tọa độ là 240; 450; 0 nên khoảng cách từ A đến các trục , OxOy lần lượt là 480 cm và 240 cm. Suy ra 460AA cm và = 240AO cm. Từ giả thiết suy ra 120;0;300AB→ , do đó 22212003006029323ABAB→ (cm). Vi 450OOAA cm và O nằm trên trục Oy nên toa độ của điềm O là 0; 450; 0 . Do đó, 120;0;300OB nên 222 12003006029323OOBB→ (cm). Vây mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là 450 cm, chiều rộng là 240 cm, mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là 323 cm. Câu 2. Trong Câu 1, hãy tính độ lớn của góc  giữa mặt bên của căn nhà gỗ và mặt đất. (Luyện tập 6 - Nguồn sách kết nối trí thức) Lời giải Theo hệ quả của định lí Côsin trong tam giác OAB ta có 2222402 cos 2..2.2.602929 ABAOOBAO OAB ABAOAB    . Suy ra  68,2OAB . Vậy góc giữa mặt bên và mặt đất của căn nhà gỗ gần bằng 68,2 .
Câu 3. Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị đo lầy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800; 500, 7) đến điểm B (940; 550; 8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì? (Ví dụ 5 - Nguồn sách kết nối trí thức) Lời giải Gọi ,;Cxyz là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên AB và BC cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên 2ABBC . Do đó, 194080055050087;;70;25;0,5 2222BCAB    →→ . Mặt khác, 940;550;8BCxyz→ nên 940701010 55025575 80,58,5 xx yy zz       . Vậy tọa độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là 1010;575;8,5 . Câu 4. Với các giả thiết như trong Câu 2, hãy xác định tọa độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B ). (Luyện tập 5 - Nguồn sách kết nối trí thức) Lời giải Gọi ,;Dxyz là vị trí của máy bay sau 10 phút tiếp theo tính từ B . Vì hướng của máy bay không đổi nên AB và BD cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến D nên ABBD . Do đó, 1940800;550500;87140;50;1 2BCAB→→ . Mặt khác, 940;550;8BDxyz→ nên 9401401080 55050600 819 xx yy zz       . Vậy tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo tính từ B là 1080;600;9D .
Câu 5. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng Oxy trù 1,5 ng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H. 8.3), đơn vị đo lấy theo kilômét. a) Tìm tọa độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ tọa độ đã chọn. b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). (Ví dụ 7 - Nguồn sách kết nối trí thức) Lời giải a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có tọa độ lần lượt là 2;1;0,5 và 1;1,5;0,8 . b) Khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu là 2221,510,80,515,343,9212 (km). Câu 6. Trong Câu 5, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao. (Luyện tập 7 - Nguồn sách kết nối trí thức) Lời giải Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất là 222210,55,25 Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ hai là 22211,50,83,89 . Vậy, khinh khí cầu thứ nhất bay xa điểm xuất phát hơn khinh khí cầu thứ hai. Câu 7. Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng Oxy trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H. 8.4). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.
(Bài tập 2.23 - Nguồn sách kết nối trí thức) Lời giải Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ. Khi đó ta có 6; 8; 3B và 0; 0; 3O . Gọi I là điểm chính giữa trần nhà của phòng học. Vì OABC là hình chữ nhật nên I là trung điểm của OB . Do đó  60 3 2 80 4 2 33 3 2 I I I x y z            . Vậy tọa độ điểm treo đèn là 3;4;3I . Câu 8. Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng Oxy trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H. 8.5). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là 25;15;10 đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.