Title 3. Chương 1 GT lớp 12.pdf ✅

Trang 70 GIẢ  I TÍCH 12
Trang 71 CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. 1. Tính đơn điệu – Định nghĩa: Cho hàm số y f x    có đạo hàm và xác định trên K : +) Nếu f x x K      0, và f x    0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số đồng biến trên K . +) Nếu f x x K      0, và f x    0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số nghịch biến trên K. +) Nếu f x x K      0, thì hàm số không đổi trên K . – Nhận biết: Khi cho một đồ thị hàm số, xét từ trái qua phải: +) Nếu nét vẽ đi xuống trên K thì hàm số nghịch biến trên K . +) Nếu nét vẽ đi lên trên K thì hàm số đồng biến biến trên K . +) Nếu nét vẽ là đường thẳng nằm ngang trên K thì hàm số không đổi trên K . 2. Một số định lí – Định lí 1: Nếu hàm số y f x    luôn đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trên D thì: +) Số nghiệm của f x k    trên D không nhiều hơn một. +) Phương trình f x f y      xảy ra khi và chỉ khi x y  với mọi x y , xác định trên D . – Định lí 2: Nếu hàm số y f x    luôn đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trên ab;  thì f x k    có duy nhất một nghiệm khi lim . lim 0     x a x b f x f x      – Định lí 3: Nếu hàm số y f x    và hàm số y g x    luôn đồng biến (nghịch biến) với f x g x    . 0    và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x g x      không nhiều hơn một. – Định lí 4: Cho hàm số y f x    liên tục trên D và hàm số y u x y v x    ,   xác định trên D : +) Nếu hàm số y f x    luôn đồng biến và liên tục trên D thì f u x f v x u x v x             . +) Nếu hàm số y f x    luôn nghịch biến và liên tục trên D thì f u x f v x u x v x             . – Khi xử lí bài toán y f u x     đồng biến (nghịch biến) và xác định D , nếu đặt t u x    thì: +) Nếu t đồng biến trên D thì f t  cũng đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định của t . +) Nếu t nghịch biến trên D thì f t  sẽ nghịch biến (đồng biến) trên tập xác định của t . B. Cực trị của hàm số. – Cho hàm số y f x    xác định và liên tục trên khoảng ab;  (có thể a là  ; b là  ) và điểm x a b 0  ; . +) Nếu    h f x f x 0 :    0  với mọi x x h x h     0 0 ;  và 0 x x  thì ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại 0 x . +) Nếu    h f x f x 0 :    0  với mọi x x h x h     0 0 ;  và 0 x x  thì ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại 0 x . – Nếu hàm số đạt cực trị tại x c  thì y  đổi dấu qua x c  . – Nếu đồ thị hàm số y f x    cắt trục Ox tại n điểm thì hàm số y f x    có tối thiểu n cực trị. – Nếu y f x    là hàm số bậc m thì hàm số y f x    có tối đa m cực trị. – Cho hàm số y f x    có đạo hàm cấp hai trong khoảng  x h x h 0 0   ;  với h  0 . Khi đó: +) Nếu f x f x    0 0    0, 0   thì hàm số f x  đạt cực tiểu tại 0 x . +) Nếu f x f x    0 0    0, 0   thì hàm số f x  đạt cực đại tại 0 x . – Cho hàm số           0 0 1 0 0 2 i u u y f u y u f u f u u x                        Khi đó số điểm cực trị của f u   Số điểm cực trị của u + Số nghiệm bội lẻ của i u x  .
Trang 72 C. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. – Cho hàm số y f x    có tập xác định D, khi đó:             0 0 0 0 , min : , max : D D f x m x D m f x x D f x m f x M x D M f x x D f x M                               . D. Đường tiệm cận. 1. Định nghĩa – Định nghĩa 1: Cho hàm số y f x    xác định trên khoảng vô hạn (là khoảng chứa kí hiệu  ). Đường thẳng 0 y y  được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi 0 0 lim lim x x y y y y         . – Định nghĩa 2: Đường thẳng 0 x x  được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 0 lim x x y     , 0 lim x x y     , 0 lim x x y     , 0 lim x x y     . 2. Xác định đường tiệm cận thông qua hàm số cho trước a) Tiệm cận ngang: Cho hàm số       P x y f x Q x   có tập xác định D chứa  và . – Nếu deg deg P x Q x      thì không có tiệm cận ngang. – Nếu deg deg P x Q x      thì có tiệm cận ngang y  0. – Nếu deg deg P x Q x      thì có tiệm cận ngang y k  (k là tỉ số hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu) b) Đường tiệm cận đứng: Cho hàm số       P x y f x Q x   có tập xác định D . – Điều kiện cần: giải   0 Q x x x    0 là tiệm cận đứng khi thỏa mãn điều kiện đủ. – Điều kiện đủ: +) Điều kiện 1: 0 x x  làm cho P x( ) và Q x( ) xác định. +) Điều kiện 2: 0 x không phải nghiêm 0 P x x x ( )   là tiện cận đứng. 0 x là nghiêm 0 P x x x ( )   là tiệm cận đứng nếu 0 lim ( ) x x f x    . E. Hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0). 1. Nghiệm của phương trình bậc ba     3 2 y f x ax bx cx d a       0 – Phương trình 3 2 0 0 ax bx cx d a         có ba nghiệm lập thành: +) Cấp số cộng khi có một nghiệm 3 b x a   . +) Cấp số nhân khi một nghiệm là 3 d x a   . – Cho phương trình 1 2 3 1 3 2 Vi-ét 2 1 2 2 3 3 1 3 1 2 3 0 0 b x x x a x x ax bx cx d c x x x x x x x x a a x x d x x x a                                     . 2. Sự biến thiên của hàm số bậc ba     3 2 y f x ax bx cx d a       0 – Đồng biến trên đoạn có độ dài  : 2 1 a 0 x x         và nghịch biến trên đoạn có độ dài  : 2 1 a 0 x x         .
Trang 73 – Hàm số đồng biến trên khi 2 0 3 0 0, 0 y a b ac a b c                 và nghịch biến trên khi 2 0 3 0 0, 0 y a b ac a b c                 . 3. Cực trị của hàm số bậc ba     3 2 y f x ax bx cx d a       0 – Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là         2 2 3 . 9 9 18 b ac bc f x f x y x d f x a a a          . Cách tìm: +) Cách 1: Phương trình cần tìm có dạng y kx p   với f x f x g x kx p       .    . +) Cách 2: Đưa máy tình về chế độ số phức và nhập       CALC . 18 100 f x f x x i f x a m         . – Định lí Vi-ét với hai điểm cực trị: 1 2 2 3 b x x a    và 1 2 . 3 c x x a  . – Hai điểm A B, đối xứng nhau qua    : y mx n khi   2 ; 2 . 1 3 3 I I I I y mx n I x y b AB c n a                         . – Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 4 16 e e d a   , với 2 3 9 b ac e a   . 4. Các vấn đề khác liên quan đến hàm số bậc ba     3 2 y f x ax bx cx d a       0 có đồ thị C – Hàm số y f x    có n cực trị với         1 2 1 2 5 . 0 3 . 0 n f x f x n f x f x           , với   1 2 0, i y x x x    . – Hàm số y f x    có n cực trị với 1 2 1 2 5 0 3 0 n x x n x x            , với   1 2 0, i y x x x    . – Nếu f x  0   0 và y f x    đổi dấu khi qua 0 x x  thì M x f x  0 0 ;   là điểm uốn của C và cũng là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. – Trong các tiếp tuyến của C , tiếp tuyến tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc min 0 max 0 a a        . 5. Xét dấu các hệ số a) Xác định hệ số a. – Nếu   3 2 0 lim x 0 a ax bx cx d  a            thì a  0 . b) Xác định hệ số b. – Nếu đồ thị hàm số   3 2 y ax bx cx d a      0 không có cực trị thì xđiểm uốn 3 b a   . – Nếu đồ thị hàm số   3 2 y ax bx cx d a      0 có 2 điểm cực trị thì: 0 0 0 0 C CT T Đ CĐ C x x ab x x ab            x y c > 0 O 1 x y c = 0 O 1 x y c < 0 O 1