Title Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 16 - PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT.doc ✅

Trang 1 Chuyên đề 16: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Phương trình tổng quát của mật phẳng: Mặt phẳng qua 000;Mxy và vecto pháp tuyến ,,nABC→ . 222 0,0AxByCzDABC Hay 0000AxxByyCzz Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn 1xyz abb khi cắt 3 trục Ox, Oy, Oz tại 3 điểm khác gốc O là ;0;0,0;;0,0;0;AaBbCc Phương trình của đường thẳng: đi qua 0000,,Mxyz và có vectơ chỉ phương 222,,,0uabcabc→ Phương trình tham số: d: 0 0 0 , xxat yybttR zzct       Phương trình chính tắc khi ,,0abc : 000xxyyzz abc   - Đường thẳng giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau: Nếu d thì chọn VTCP ,nnn  →→→ Hoặc từ hệ 0 ''''0 AxByCzD AxByCzD     ta chọn ra hai bộ nghiệm x;y;z tương ứng tọa độ của hai điểm thuộc giao tuyến. - Đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng 1d qua 1M và có VTCP 1u→ Đường thẳng 2d qua 2M và có VTCP 2u→ Cách 1: Đường vuông góc chung d có VTCP 12;uuu  →→→ Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa 1d và 2d . Tìm giao điểm A của di và (P) thì d đi qua A và có VTCP u→
Trang 2 Cách 2: Gọi đoạn vuông góc chung là AB, 1Ad và 2Bd dạng tham số theo t và t' . Tìm t và t' bằng hệ điều kiện: 1 2 .0 .0 ABu ABu      →→ →→ . Đường vuông góc chung d là đường thẳng AB. Phương trình mặt cầu: Mặt cầu (S) tâm Ia,b,c bán kính R 2232xaybzcR hay: 222222 2220,0xyyAxByCzDABCD Có tâm ,,IABC và bán kính 222RABCD Phương trình đường tròn giao tuyến 222 2220 0 xyzaxbyczd AxByCzD     Giao tuyến của mặt cầu (S) tâm I bán kính R và mặt phẵng (P) là đường tròn giao tuyến (C) có tâm H là hình chiếu tâm mặt cầu I lên mặt phẳng (P) và bán Kính 22;rRdtP 2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 16.1: Lập phương trình mặt phẳng: a) Đi qua hai điểm A1;1;-1,B5;2;1 và song song với trục Oz b) Chứa giao tuyến của 2 mặt phẳng 40,310xyzxyz và đi qua 2;1;1K Hướng dẫn giải a) Mặt phẳng (P) song song với Oz nên có phương trình: '''0AxByD với 22 '0,''0DAB (P) đi qua A và B nên: '''0 4''0 5'2''0 ABD AB ABD    
Trang 3 Chọn '1,'4AB và do đó '3D và được phương trình của (P) là: 430xy b) Các điểm thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng có toạ độ ;;xyz thoả mãn hệ 40 310 xyz xyz     Cho y=0 thì 3 43112 ;0; 311122 2 x xz M xz z           Cho z=0 thì 3 43112 ;;0 311122 2 x xy M xy z           Ta lập được phương trình (MNK): 15x-7y+7z-16=0 Bài toán 16.2: Lập phương trình mặt phẳng a) Đi qua điểm G1;2;3 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC. b) Đi qua điểm H2;1;1 và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC. Hướng dẫn giải a) Giả sử Aa;0;0,B0;b;0 và C0;0;c . Vì G1;2;3 là trọng tâm của tam giác ABC nên: 000000 1;2;3 333 abc  Suy ra 3,6,9abc Vậy phương trình theo đoạn chắn: 1 369 xyz  b) Nếu mặt phẳng đi qua H2;1;1 và cắt các trục toạ độ tại A, B, C thì tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, do đó H là trực tâm của tam giác ABC thì OHmpABC . Vậy mp(ABC) đi qua H và có vectơ pháp tuyến OH=2;1;1→ nên có phương trình: 22110xyz hay 260xyz .
Trang 4 Bài toán 16.3: Viết phương trình của mặt phẳng qua điểm M5;4;3 và cắt ba trục toạ độ ở ba điểm khác O, cách đều gốc toạ độ. Hướng dẫn giải Mặt phẳng cần tìm có dạng đoạn chắn: 1,0xyz abc abc Điểm M5;4;3 thuộc mặt phẳng nên: 543 1 abc (1) Với 543 ,,(1)112bacaa aaa Với 543 ,,(1)16bacaa aaa Với 543 ,,(1)14bacaa aaa Với 543 ,,(1)12bacaa aaa Do đó bốn mặt phẳng cần tìm là: 1;1;;1. 121212666444222 xyzxyzxyzxyz   Bài toán 16.4: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng a) 2450xyz và 3510xyz . b) 210xyz và 250xyz Hướng dẫn giải a) Điểm Mx;y;z cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi: 245351 41169251 xyzxyz   5245351xyzxyz 52453351xyzxyz Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng phân giác: 25335534535530xyz 25-33x-5-53y+453z+55-3=0