Title Chương 7_Bài 26_Khoảng cách_Phần 1_Lời giai_Toán 11_KNTT.pdf ✅

BÀI 26: KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG HĐ1. a) Cho điểm và đường thẳng a . Gọi là hình chiếu của trên a . Với mỗi điểm thuộc , giải thích vì sao . b) Cho điểm và mặt phẳng . Gọi là hình chiếu của trên . Với mỗi điểm thuộc , giải thích vì sao . Lời giải a) Vì H là hình chiếu của M trên đường thẳng a , nên MH là khoảng cách từ M đến a và MH là đoạn thẳng ngắn nhất từ M đến a , suy ra MK MH  . b) Vì H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) , nên MH là khoảng cách từ M đến (P) và MH là đoạn thẳng ngắn nhất từ M đến (P) . hoặc bằng góc giữa MHva P( ) . Điều này có nghĩa là độ dài của MK lớn hơn hoặc bằng độ dài của MH và do đó ta có MK MH  . • Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a , kí hiệu d , (M a) , là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a . • Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P) , kí hiệu d( , M P( ) ), là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P) . Chú ý. d , 0 (M a) = khi và chỉ khi M a M P  = ;d , 0 ( ( )) khi và chỉ khi M P ( ) . khi và chỉ khi khi và chỉ khi . M H M K a MK MH H  ( .7.74) M (P) H M (P) K (P) MK MH  (H.7.75) d , 0 (M a) = M a M P  = ;d , 0 ( ( )) M P ( )
Nhận xét. Khoảng cách từ đến đường thẳng a (mặt phẳng ) là khoảng cách nhỏ nhất giữa và một điểm thuộc a (thuộc ). Chú ý. Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của một hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp đó. Ví dụ 1. Cho hình chóp đều S ABC  . Biết độ dài cạnh đáy, cạnh bên tương ứng bằng a b a b , ( 3)  . Tính chiều cao của hình chóp. Lời giải. (H.7.76) Hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC) là tâm O của tam giác đều ABC . Trong tam giác đều ABC , ta có 3 a OA = . Trong tam giác vuông SOA , ta có 2 2 2 2 3 a SO SA OA b = − = − . Vậy chiều cao của hình chóp là 2 2 3 a SO b = − . Luyện tập 1 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ABC     là tam giác vuông cân tại A AB a AA h , , H.7.77 = =  ( ). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC B ) . b) Tam giác ABC là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC . Lời giải a) Gọi E là trung điểm của CC' . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC B' ') chính là khoảng cách từ A đến đoạn thẳng BE. M (P) M (P)
Ta có ( ) 1 E ' 2 A AC AC = + nên ( ) ( ) 1 1 1 ' AA ' ' ' . E ' AA'+A'C' ' 2 2 2 h AC AC A C h AC A AC AC AC AB AB a a   = + = + = + = + = +     Ta biết rằng AB AB . ' 0 = do AB vuông góc với AB' và AC AB do AC AB . 0 .  = ⊥  Từ đó, ta suy ra : 1 2 E. ' . 2 2a h A AB AB AC AB = + Mặt khác, ta có thể ( ) 2 2 1 . . . os , . os45 2 AB AC AB AC c AB AC a c a  = = = do đó 1 2 E. ' 4 2 2 h a A AB a = + Khoảng cách từ A đến đoạn thẳng BE là: ( ) E. ' , ' 4 2 A AB a h d A BE AB = = + b) Ta có BC BB B C  =  +   Vì BB BC  ⊥  nên BB BC   = . 0 . Mặt khác ta có: ( ) ( ) 2 2 B C BB BB B C BB BB B C BB BB B C BB c ' '. ' ' ' ' . ' ' ' '. ' ' ' '. ' os B'C', BB' = + = + = + Do đó: ( ) ( ) 2 ' ', ' 1 os ' ', ' 2 a B C BB c B C BB b = − = Vậy tam giác ABC' là tam giác vuông cân tại C'. Khoảng cách từ A đến BC' là: ( ) . ' , ' AB BC d A BC AB = 2. KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG HĐ2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng . Lấy hai điểm bất kì thuộc a và gọi tương ứng là các hình chiếu của chúng trên . Giải thích vì sao là một hình chữ nhật và có cùng khoảng cách đến . (P) M N, AB, (P)(H.7.78) ABNM M N, (P)
Lời giải Vì a song song với (P), nên ta có thể lấy một đường thẳng tùy ý qua M và N và giao với (P) tại I. Khi đó, theo định nghĩa của hình chiếu, ta có AM và BN là hai đường thẳng vuông góc với (P) và ABvà MN là hai đường thẳng chứa chúng. Do đó, AB MN / / . Vì AM vàBN vuông góc với (P) , ta có thể thấy rằng AMIN và BNIM là hai hình bình hành. Do đó, ta có: AM IN vàBN IM = = . Từ 2 điều trên suy AB MN = . Do đó, ABNM là một hình chữ nhật với cạnh AB bằng MN . Vì AM và BN là hai đường thẳng vuông góc với (P) nên khoảng cách từ Avà B đến (P) cũng là bằng nhau. Theo định nghĩa, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là khoảng cách nhỏ nhất từ điểm đó đến các điểm trên mặt phẳng đó. Vì vậy, Mvà N có cùng khoảng cách đến (P) . Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng song song với , kí hiệu ), là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến . HĐ3. a) Cho hai đường thẳng và song song với nhau. Khi một điểm thay đổi trên thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng có thay đổi hay không? b) Cho hai mặt phẳng song song và và một điểm thay đổi trên . Hỏi khoảng cách từ đến ( ) thay đổi thế nào khi thay đổi. Lời giải a) Khi một điểm M thay đồi trên đường thẳng m , khoảng cách từ M đến đường thẳng n không thay đồi. b) Khi một điểm M thay đổi trên mặt phẳng (P) , khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) không thay đồi. • Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) , kí hiệu d , ((P Q ) ( )) , là khoảng cách từ một điềm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. • Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song m và n , kí hiệu d , (m n) , là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia. (P) a d( , a P( ) (P) m n M m n (P) (Q) M (P)(H.7.79) M Q M