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गणित अध्याय-9: अवकल समीकरण
(1) 09 अवकल समीकरण अवकल समीकरण (Differential equation) यदि दिसी समीिरण में स्वतन्त्र चर x तथा आश्रित चर y िे अततररक्त एि या अधिि अविल गुणाांि जैसेdy dx, d 2y dx2 उपस्थित हों, तो उस समीिरण िो अविल समीिरण िहते हैं। ये सभी अविल समीिरण िे उिाहरण हैं। साधारण अवकल समीकरण (Simple or “Ordinary" differential equation)-वे समीिरण श्रजनमें िे वल एि स्वतन्त्र चर हो और इस स्वतन्त्र चर िे सापेक्ष अविल गुणाांि हो, सािारण अविल समीिरण िहलाते हैं। ऊपर दिये गये सभी अविल समीिरण सािारण अविल समीिरण हैं। अवकल समीकरण की कोटि (Order ofadifferential equation)-दिसी अविल समीिरण िी िोटि, उसमें आने वाले उच्चतम अविल गुणाांि िी िोटि होती है। ऊपर िी गई अविल समीिरणों िी िोटियााँ (Orders) क्रमशः 1, 1,2,2, 1 व 4 हैं। अवकल समीकरण की घात (Degree ofadifferential equation)-दिसी अविल समीिरण िी घात, उसमें आने वाले उच्चतम अविल गुणाांि िी घात होती है जबदि अविल समीिरण में आने वाले अविल गुणाांि मूलि तथा धभन्नात्मि घातों से स्वतन्त्र हों। उदाहरण-
(2) 09 अवकल समीकरण रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation) ऐसे अविल समीिरण श्रजनमें आश्रित चर और उसिे । अविल गुणाांि प्रथम घात िे हों, रैखिि अविल समीिरण िहलाते हैं। आश्रित चर तथा उसिे अविल गुणाांिों िे गुणाांि अचर तथा िे फलन हो सिते हैं। प्रथम िोटि िे रैखिि अविल समीिरण िा व्यापि रूप dy dx + py = Q होता है, जहााँ P,Q“अचर" अथवा "िेवल िे फलन हैं।"n वीां िोटि िे रैखिि अविल समीिरण िा व्यापि रूप अग्र है- यहााँ ao(x), a1(x),......., an-1(x)3,an,(x) अविल समीिरण िे गुणाांि हैं। अरैखिक अवकल समीकरण- जो समीिरण रैखिि नहीां होते अथाात् िे सभी फलन व अविलज एि घात िे नहीां हों तो उन्हें अरैखिि (Non-linear) अविल समीिरण िहते हैं।
(3) 09 अवकल समीकरण अवकल समीकरण का हल (Solution of a Differential Equation) : दिसी अविल समीिरण िा हल उसमें आने वाले चरों िे बीच ऐसा सम्बन्ध होता है श्रजसमें अविल गुणाांि उपस्थित नहों तथा जो स्वयां तथा श्रजससे प्राप्त अविलजों से समीिरण सन्तुष्ट हों। अविल समीिरण िे हल िो उसिा समािलन भी िहते हैं। उिाहरण (i) y = logsecx + c, अविल समीिरण dy dx = tanx िा हल है। (ii) y = logx + c, अविल समीिरण dy dx = 1 x िा हल है। (iii) y = Acosx + B sinx + c अविल समीिरणd 2y dx2 +y = 0 इनमें c समािल अचर िहलाता है। उपयुाक्त उिाहरणों से स्पष्ट है दि अविल समीिरण अपने हल से अविलन और ववलोपन आदि बीजीय सांदक्रयाओां द्वारा प्राप्त दिया जाता है। इसश्रलए अविल समीिरण िे हल िो उसिा पूवाग (Primitive) भी िहते हैं। सामान्य हल (GeneralSolution orComplete Solution or Complete Primitive) दिसी अविल समीिरण िा वह हल अपने स्वेच्छ अचरों िी सांख्या, अविल समीिरण िे क्रम िे बराबर होती है। ववशेष हल (Particular solution)- यदि दिसी अविल समीिरण िे सामान्य हल में आने वाले स्वेच्छ अचरों में से दिसी एि िो या िु छ िो या सभी िो िोई ववशेष मान िे दिये जाएाँ, तो इस प्रिार प्राप्त हल, उस समीिरण िा ववशेष हल िहलाता है। उदाहरण-y= log sinx + 3, अविल समीिरण
(4) 09 अवकल समीकरण dy dx = cotx िा एि ववशेष हल है, क्योंदि यह सामान्य हल में c = 3 रिने से प्राप्त हुआ है। अवकल समीकरण की रचना (Formation of a Differential Equation) दिसी दिये गये समीिरण से अविल समीिरण बनाने िे । श्रलए उसे x िे सापेक्ष क्रधमि अविलन उतनी बार िरते हैं श्रजतने स्वेच्छ अचर हों। तत्पश्चात् प्राप्त समीिरणों से स्वेच्छ । अचरों िो ववलोपपत िरते हैं। प्राप्त समीिरणों में x,y, dy dx , d 2y dx2 होंगे। यही अभीष्ट अविल समीिरण है। ववशेष हल (Particular solution)– यदि दिसी अविल समीिरण िे सामान्य हल में आने वाले स्वेच्छ अचरों में से दिसी एि िो या िु छ िो या सभी िो िोई ववशेष मान िे दिये जाएाँ, तो इस प्रिार प्राप्त हल, उस समीिरण िा ववशेष हल िहलाता है। उदाहरण- y = log sinx + 3, अविल समीिरण dy dx = cotx िा एि ववशेष हल है, क्योंदि यह सामान्य हल में c = 3 रिने से प्राप्त हुआ है। अवकल समीकरण की रचना (Formation of a Differential Equation) दिसी दिये गये समीिरण से अविल समीिरण बनाने िे श्रलए उसे x िे सापेक्ष क्रधमि अविलन उतनी बार िरते हैं श्रजतने स्वेच्छ अचर हों। तत्पश्चात् प्राप्त समीिरणों से स्वेच्छ अचरों िो ववलोपपत िरते हैं। प्राप्त समीिरणों में x, y, dy dx , d 2y dx2 ,......होंगे। यही अभीष्ट अविल समीिरण है। प्रथम कोटि तथा प्रथम घातके अवकल समीकरणोंका हल (Solution of Differential Equation of the First Order and First Degree) उन अविल समीिरणों िा हल जो dy dx =f(x) िे रूप में हों माना dy dx =f(x) तब, इसे अविल रूप में श्रलिा जायेगा- dy = f(x)dx