Title Chương 9_Bài 1_ _Đề bài_Toán 9_CTST.pdf ✅

CHƯƠNG 9. TỨ GIÁC NỘI TIẾP. ĐA GIÁC ĐỀU. BÀI 1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Đường tròn ngoại tiếp tam giác Kiến thức trọng tâm Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đurờng tròn ngoại tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác nội tiếp đường tròn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác và có bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một đỉnh bất kì của tam giác. Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (I) và (J) cắt nhau tại M, N . Gọi E và F (khác M, N ) là hai điểm lần lượt trên (I) và (J) . Tìm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE và đường tròn ngoại tiếp tam giác MNF. Lời giải Ta có đường tròn ( )I đi qua ba điểm M, N,E , suy ra ( )I là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE. Ta có đường tròn (J) đi qua ba điểm M, N,F , suy ra (J) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNF. Ví dụ 2. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Lời giải Vẽ đường cao AH của tam giác ABC , gọi O là điểm nẳm trên đoạn thẳng AH sao cho 2 OA AH 3 = . Do tam giác ABC đều nên O vừa là trọng tâm của tam giác vừa là giao điểm của ba đường trung trực. Xét tam giác AHB vuông tại H , ta có: 2 2 2 2 a a 3 AH AB BH a 4 2 = − = − =
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có tâm O và bán kính 2 a 3 R OA AH 3 3 = = = Kiến thức trọng tâm Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác và bán kính bằng a 3 3 . Ví dụ 3. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với BC 10 cm = . Lời giải Gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC . Ta có AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC vuông tại A , suy ra BC OA OB OC R 5 cm 2 = = = = = . Vậy đường tròn tâm O bán kính 5 cm ngoại tiếp tam giác ABC . Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền. 2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC Kiến thức trọng tâm Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đuờng tròn nội tiếp tam giác, khi đó tam giác được gọi là tam giác ngoại tiếp đuờng tròn. Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong và bán kính bằng khoảng cách từ giao điểm đó đến một cạnh bất kì của tam giác. Ví dụ 4. Cho góc xOy và đường tròn (I) tiếp xúc với hai cạnh Ox,Oy . Vẽ tiếp tuyến d của (I) sao cho d cắt Ox tại A , cắt Oy tại B và I nằm trong tam giác OAB . Tìm đường tròn nội tiếp của tam giác OAB . Lời giải
Ta có đường tròn (I) tiếp xúc với ba cạnh OA,OB và AB của tam giác OAB nên (I) là đường tròn nội tiếp tam giác OAB . Ví dụ 5. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng a . Lời giải Gọi O là giao điểm của ba đường cao AH,BE và CF của tam giác ABC . Ta có tam giác ABC đều nên AH,BE,CF là ba đường trung tuyến, đồng thời là ba đường phân giác trong của tam giác. Do đó, O là trọng tâm, đồng thời là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với bán kính r OH OE OF = = = . Xét tam giác AHB vuông tại H , ta có 2 2 2 2 a a 3 AB BH a 4 2 AH = − = − = , do đó 1 a 3 r OH AH 3 6 = = = . Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác và bán kính bằng a 3 6 . Kiến thức trọng tâm Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác và bán kính bằng a 3 6 . Nhận xét: Tam giác đều có tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau. B. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP TAM GIÁC 1. Phương pháp • Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền của tam giác vuông đó. • Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm của đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác đó.
• Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 3 3 a R = và bán kính đường tròn nội tiếp là 3 6 a r = . 2. Ví dụ Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau : a) Hình nào có đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC ? Giải thích ? b) Hình nào có đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC ? Giải thích ? Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB cm =10 và AC cm = 21 . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ví dụ 3. Cho ABC vuông tại A , có AB cm = 6 và AC cm = 8 ngoại tiếp đường tròn (I r; ) . Tính r Ví dụ 4. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại B có C 60 , BC 3 cm  = = và O là trung điểm AC . Xác định tâm, bán kính và vẽ đường tròn ngoại tiếp của: a) ABC ; b) BCO . Ví dụ 6. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC . Tính bán kính của (O) , biết rằng ABC vuông cân tại A và có cạnh bằng 2 2 cm. Ví dụ 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Biết rằng BOC 120 = và OCA 20 = . Tính số đo các góc của tam giác ABC . DẠNG 2. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP TAM GIÁC Ví dụ 1. Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . Gọi E F, theo thứ tự là hình chiếu của (O) lên AB và AC . Chứng minh rằng AO là tia phân giác của BAC Ví dụ 2. Cho ABC vuông tại A ( ) 0 BAC AB AC =  90 . Đường tròn (I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D . Chứng minh rằng: a) 2 BC AB AC BD + − = b) . ABC S BD DC =