Title 062_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Vĩnh Phúc_25-26 (1).pdf ✅

CHUYÊN VĨNH PHÚC 2025 - 2026 Câu 1 (2.0 điểm). a) Giải phương trình 3x 1 9x 5 4 + + − = b) Giải hệ phương trình 2 2 2 xy 2x 4 10y(1) x y 4xy 16 28y (2)  + + =   + + = Câu 2 (1.0 điểm). Ở một cửa hàng chuyên kinh doanh miến, mỗi kilogram miến có giá nhập về là 70 nghìn đồng và giá bán ra niêm yết là 100 nghìn đồng. Biết rằng trong giá bán niêm yết đó chủ cửa hàng phải chi trả 15% cho tất cả các khoản như thuế, phí quản lý, giao hàng,... Tại thời điểm hiện nay, mỗi ngày cửa hàng đang bán được 200 kg miến. Nhân dịp khai trương thêm chi nhánh mới, chủ cửa hàng muốn chạy chương trình khuyến mãi giảm giá bán. Biết rằng nếu giảm mỗi 1% của giá bán niêm yết ban đầu thì khối lượng hàng bán được tăng thêm 40 kg. Hỏi chủ cửa hàng đó cần giảm giá bao nhiêu % của giá bán niêm yết ban đầu để thu được lợi nhuận lớn nhất trong một ngày? Câu 3 (1.5 điểm). 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình 2 2 4 4 x (x 1) y (y 1) + − = + − 2) Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn n 5 1− chia hết cho m 2 (5 1) − . Chứng minh rằng: n chia hết cho m m(5 1) − Câu 4 (2.0 điểm). a) Chứng minh rằng: 2 6 x 1 x 5 x 8 − + −  với 1 x 5   b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4 4 4 1 1 1 T a b b c c a a b c = + + − − − + + + Câu 5 (3.0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm D, E, F. Đường thẳng AI cắt đường thẳng BC tại điểm X. a) Kẻ đường kính DH của đường tròn (1), tiếp tuyến tại H của đường tròn (I) cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại các điểm P, Q. Gọi M, N tương ứng là các điểm đối xứng với X qua các đường thẳng IC, IB. Chứng minh rằng: MN vuông góc với DH và QH.BD = PH.CD. b) Đường thẳng AI cắt các đường thẳng DE, DF lần lượt tại các điểm G, J. Gọi K là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng QH.BD = IG.IJ và tam giác KGJ cân. c) Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Đường thẳng BI cắt đường thẳng CA tại điểm Y, đường thẳng CI cắt đường thẳng AB tại điểm Z. Chứng minh rằng: 1 1 1 2 AX BY CZ R OI + +  − ĐÁP ÁN
Câu 1. a) Điều kiện xác định: 5 x 9  . Xét các trường hợp • Nếu x > 1 thì 3x 1 9x 5 3.1 1 9.1 5 4 4 + + −  + + − = = hay VT > VP nên phương trình vô nghiệm. • Nếu 5 x 1 9   thì 3x 1 9x 5 3.1 1 9.1 5 4 4 + + −  + + − = = hay VT < VP nên phương trình vô nghiệm. Xét x = 1 thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) Từ phương trình (1) ta có xy + 4 = 10y – 2x nên 2 2 (xy 4) (10y 2x) + = − . Kết hợp với phương trình (2) ta được 2 2 2 2 2 (xy 4) (x y 4xy 16) (10y 2x) 28y + − + + = − − hay 2 2 x 11xy 18y 0 − + = , từ đây có (x – 2y)(x − 9y) = 0. Ta xét hai trường hợp • Nếu x − 2y = 0 thì x = 2y, thay trở lại (1) được 2 y 3y 2 0 − + = . Giải tìm được (x, y) ∈ {(2;1); (4;2)}. • Nếu x − 9y = 0 thì x = 9y, thay trở lại (1) được 2 9y 8y 4 0 + + = , phương trình này có 2  = −  ' 4 9.4 0 nên phương trình vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có nghiệm (x, y) ∈ {(2;1);(4;2)}. Câu 2. Giả sử cửa hàng cần giảm giá x% của giá bán niêm yết ban đầu đề thu được lợi nhuận lớn nhất trong một ngày (x  0). Để có lợi nhuận khi bán thì 100 − x%.100 =100 − x > 70 hay x < 30. Nếu giảm mỗi 1% của giá bán niêm yết ban đầu thì khối lượng hàng bán được tăng thêm 40 kg, như vậy nếu giảm x% thì giá bán là 100 − x (nghìn đồng), khi đó mỗi ngày cửa hàng bán được 200 + 40x (kg). Như vậy lợi nhuận trong một ngày được tính theo biểu thức T = (100 - x)(200 + 40x) - 15% (100 - x)(200 + 40x) - 70(200 + 40x) 2 T 34x 430x 3000 = − + + Có 2 T 34x 430x 3000 = − + + 2 215 148225 148225 34 x 34 34 34   = − − +      Đẳng thức xảy ra khi 215 x 34 = (thỏa mãn)
Vậy cửa hàng cần giảm giá 215 34 % của giá bán niêm yết ban đầu đề thu được lợi nhuận lớn nhất trong một ngày. Câu 3. a) Thu gọn hai vế của đẳng thức cho thành 2 4 3 2 x x y 2y 3y 2y − = − + − Hay 2 2 2 x x 1 (y y 1) − + = − + , suy ra 2 x x 1 − + là số chính phương. Đặt 2 2 x x 1 a (a Z) − + =  thì 2 2 (2x 1) 3 a − + = hay (a − 2x + 1)(a + 2x – 1) = 3, giải tìm được x = 0, x = 1. Thay trở lại tìm được (x, y) = {(0,0);(0,1);(1,1);(1;0)}. Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn bài toán là (x,y) ∈ {(0,0);(0,1);(1,1);(1;0)}. b) Từ giả thiết có n > m và n 5 1− chia hết cho m 5 1− . Đặt n km r(k,n N,k 0,0 r m) = +     thì m km r km r r 5 1 5 1 (5 1).5 5 1 + − = − = − + − Do km 5 1− chia hết cho m 5 1− nên r 5 1− chia hết cho m 5 1− . Lại do r m 0 5 1 5 1  −  − nên phải có r 5 1 0 − = hay r = 0. Suy ra n chia hết cho m nên n = mk. Đặt m 5 a = (a ∈ N*, a > 1) thì a − 1 chia hết cho 2 (a 1) − Để ý rằng k k 1 k 2 a 1 (a 1)(a a ... a 1) − − − = − + + + + nên k 1 k 2 a a ... a 1 − − + + + + chia hết cho a - 1 Mặt khác k 1 k 2 k 1 k 2 a a ... a 1 1 1 ... 1 1 k(moda 1) − − − − + + + +  + + + +  − Do đó k chia hết cho a − 1. Vậy n = mk chia hết cho m m(5 1) − Câu 4. a) Theo BĐT Cauchy ta có 2 3 2 (x 1) 1 (5 x ) 1 12x x 6 x 1 x 5 x 6. x. 2 2 2 − + − + − − + −  + = Ta chứng minh 3 12x x 2 − ≤ 8, điều này tương đương với 2 (x 2) (x 4) 0 − +  (luôn đúng với 1 x 5   ). Đẳng thức xảy ra khi x = 2. b) Từ giả thiết có a < b + c, b < c + a, c < a + b nên 2a < 3, 2b < 3, 2c < 3 Suy ra 0 < a, b, c < 3 2