Title Chuyên đề 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO.doc ✅

CHƯƠNG I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chuyên đề 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A. Kiến thức cần nhớ Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.1.1). Khi đó ta có: 1) 22;babcac ; 2) 2hbc ; 3) bcah ; 4) 222 111 hbc ; 5) 222abc (định lí Py-ta-go). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A (  90A ), đường cao BH. Chứng minh rằng: 2 12AB CHBC Giải Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho ADAC . Do đó 1 2BAACADCD . Tam giác BCD có đường trung tuyến BA ứng với cạnh CD và 1 2BACD nên tam giác BCD vuông tại B. Xét BCD vuông tại B, đường cao BH ta có: 2.BCCDCH (hệ thức 1). Suy ra 2 2.BCABCH (vì 2CDAB ). Do đó 2 12AB CHBC Nhận xét: Đề bài cho BH là đường cao nhưng chưa phải đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác vuông. Vì vậy ta vẽ thêm hình phụ để tạo ra tam giác vuông đỉnh B sao cho BH là đường cao ứng với cạnh huyền rồi vận dụng hệ thức (1). Ta cũng có thể vẽ hình phụ theo cách khác: Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại D. Cách này cũng tạo ra một tam giác vuông với BH là đường cao ứng với cạnh huyền.  Ví dụ 2. Hình thang ABCD có 90AD và BDBC . Biết 12,25ADcmCDcm . Tính diện tích hình thang. Giải Vẽ BHCD . Tứ giác ABHD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Tương tự ta có 2 AH AE AC . Do đó 224 . . AHAHAH S ABACABAC . Mặt khác ..ABACBCAH (hệ thức 3) nên 43 . AHAH S BCAHBC . Suy ra 3 AM S BC (vì AHAM ) Do đó 32 22 aa S a (dấu "=" xảy ra ABC vuông cân tại A). Vậy 2 max 2 a S khi ABC vuông cân tại A. Nhận xét: Để tìm sự liên hệ giữa chiều cao AH (chưa biết) với độ dài cạnh huyền BC (đã biết) ta vẽ thêm đường trung tuyến AM. Do AHAM ; 1 2AMBC nên AH đã liên hệ được với BC qua vai trò "bắc cầu" của AM. Ví dụ 4. Cho ba điểm A, B, C, trong đó A, B cố định, ABBCa . Vẽ tam giác ADE vuông tại A sao cho AC là đường cao. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 22 11 ADAE . Giải * Tìm cách giải: Hệ thức 22 11 ADAE gợi ý ta nhớ đến hệ thức (4). Vì vậy ta dùng hệ thức này để giải bài toán. * Trình bày lời giải: Ta có AC là đường cao của tam giác ADE vuông tại A nên 222 111 ADAEAC (hệ thức 4) Tổng 22 11 ADAE có giá trị nhỏ nhất 2 1 AC có giá trị nhỏ nhất AC có giá trị lớn nhất.  Xét ba điểm ,,ABC ta có 2ACABBCa (dấu “=” xảy ra khi B là trung điểm của AC). Vậy 2222 1111 min 42ADAEaa     khi B là trung điểm AC. Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD, 90AD , hai đường chéo vuông góc với nhau. Cho biết