Title Đề Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 10 Tỉnh Vĩnh Phúc 2010-2011 (Toán Không Chuyên) [Đáp Án].pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) Đáp án gồm 4 trang Câu Nội dung Điểm I 4 điểm 1.a (2 điểm) Đặt S x y P xy = + = ; . Khi đó hệ phương trình trở thành 2 2 2 2 2 2 2 4 2 S m S m S P S m P m m   = − = −   ⇔   − + = − + = − − 1,0 Để hệ có nghiệm thì ( ) ( ) 2 2 2 2 S P m m m m m ≥ ⇔ − ≥ − − ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 4 2 4 2 4 2 2 1,0 1.b (1 điểm) Ta có 2 A P S m m = + + = + + 2 2011 2005 0,5 Lập bảng biến thiên ta được max 2011 A = khi m = 2 ; min 2004,75 A = khi m = −0,5 2011 2004,75 2007 2 - 1 2 -2 A m 0,5 2. (1 điểm) Đặt 2 t x = ≥ 0 , thay vào phương trình ta được ( ) 2 t m t m − + + − = 3 1 6 2 0 2 3 1 t t m  = ⇔   = − phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi 0,25 1 3 1 0 3 3 1 2 1 m m m m   − >  >   ⇔  − ≠   ≠ . Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm là ± ± − 2; 3 1 m 0,5 Để các nghiệm đều lớn hơn −3 thì 10 3 1 3 3 1 3 3 − − > − ⇔ − < ⇔ < m m m . Vậy các giá trị của m là { } 1 10 ; \ 1 3 3 m   ∈ ÷   0,25 II (1,5 điểm) ĐK xy ≥ 0 , ta thấy từ pt thứ nhất ⇒ + > x y 0, do đó x y ≥ ≥ 0, 0 . Từ đó ta đặt u x v y = ≥ = ≥ 0, 0 thay vào hệ ta được ( ) 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 3 3 3 4 6 2 3 3 9 16 u v uv u v uv u v u v u v u v   + − =  + = +   ⇔  + + + =  + + + + + + = 0,5
( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 1 3 2 2 2 3 2 6 9 10 u v uv u v uv u v u v u v uv u v  + = +  ⇔      + − − + + + − − + =     Đặt t uv t = ⇒ ≤ ≤ 0 1 (vì ( ) 2 1 3 4 1 + = + ≥ ⇒ ≤ uv u v uv uv ). Thế từ phương trình thứ nhất của hệ trên vào phương trình thứ hai ta được ( ) ( ) 2 4 2 2 4 2 2 2 4 3 6 12 2 9 2 3 6 12 2 9 2 9 0 t t t t t t t t t t t t   − + + = − + − + + = − + ⇔   − + ≥ ( ) ( ) 4 3 2 3 2 ⇔ + − + − = ⇔ − + − + = 3 4 34 60 33 0 1 3 7 27 33 0 t t t t t t t t . 0,5 +) Nếu t uv = ⇔ = 1 1 ta có 2 1 1 1 1 1 u v u x uv v y    + = = =    ⇔ ⇔    = = = +) Nếu ( ) 3 2 3 2 3 7 27 33 0 3 7 6 27 1 0 t t t t t t + − + = ⇔ + + + − = vô lí vì 0 1 ≤ ≤t Kết luận nghiệm của hệ là ( x y; 1;1 ) = ( ) 0,5 III 1 điểm Do x y, 0 > nên bất đẳng thức đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2   1 1 1 1 1 + + + + ≥ + + x y xy x y   0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ⇔ + + + + + ≥ + + + + 2 2 2 1 1 2 1 2 x y x y xy x x y y 0,25 ( ) ( ) 2 2 ⇔ − + − ≥ xy x y xy 1 0 , bất đẳng thức này luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi x y = = 1 0,5 IV 3,5 điểm 1. (1,5 điểm) Giả sử tọa độ của M x( ;0) . Khi đó MA x MB x = − = − ( 1 ;2 ; 4 ;3 ) ( ) uuur uuur . Theo giả thiết ta có 0 MA MB MA MB . . .cos 45 = uuur uuur 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 4 6 1 4. 4 9. 2 2 5 10 2 5. 8 25. 2 x x x x x x x x x x ⇔ − − + = − + − + ⇔ − + = − + − + 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 3 2 2 2 5 10 2 5 8 25 (do 5 10 0) 10 44 110 75 0 1 5 4 15 0 1; 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + = − + − + − + > ⇔ − + − + = ⇔ − − − + = ⇔ = = 0,25 Vậy ta có hai điểm cần tìm là M ( 1;0) hoặc M ( 5;0) 0,25 2. (1 điểm) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C. Do tứ giác BCB’C’ nội tiếp nên · · · · FDA FCA ABE ADE = = = ⇒ H nằm trên đường phân giác trong hạ từ D của tam giác DEF, tương tự ta cũng chỉ ra được H nằm trên đường phân giác trong hạ từ đỉnh E của tam giác DEF. Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF. 0,5 Ta lập được phương trình các đường thẳng DE, DF lần lượt là DE x y DF x y : 3 5 0; : 3 7 0 − − = + − = . Do đó phương trình phân giác trong và ngoài của đỉnh D là 3 5 3 7 2 0; 1 0 10 10 x y x y x y − − + − = ± ⇔ − = − = . Kiểm tra vị trí 0,25