Title Chuyên đề 9_Phương trình đường thẳng_Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 9. CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Phương trình tham số của đường thẳng - Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phưong của đường thẳng  nếu u  0 và giá của u song song hoặc trùng với  . - Hệ ( 0 2 2 0 0  = +  +   = + x x at a b y y bt và t là tham số) được gọi là phưong trình tham số của đường thẳng  đi qua M x y 0 0 0 ( ; ) và nhận u a b = ( ; ) làm vectơ chỉ phương. 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng - Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu n  0 và giá của n vuông góc với  . Nhận xét: Nếu đường thẳng  có vectơ chỉ phương là u a b = ( ; ) thì vectơ n b a = −( ; ) là một vectơ pháp tuyến của  và ngược lại. - Phương trình ax by c + + = 0 ( a và b không đồng thời bằng 0 ) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. 3. Lập phương trình đường thẳng a) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M x y 0 0 0 ( ; ) và nhận n a b n =  ( ; )( 0) làm vectơ pháp tuyến là a x x b y y ( − + − = 0 0 ) ( ) 0 . b) Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm M x y 0 0 0 ( ; ) và nhận u a b u =  ( ; )( 0) làm vectơ chỉ phương là: 0 0 ( laø tham soá). x x at t y y bt  = +   = +  Nếu a  0 và b  0 thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng  ở dạng: 0 0 . x x y y a b − − = c) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua hai điểm A x y B x y ( 0 0 1 1 ; , ; ) ( ) là: ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 (laø tham soá). x x x x t y y y y t  = + −    = + −  Nếu 1 0 x x −  0 và 1 0 y y −  0 thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng  ở dạng: 0 0 1 0 1 0 − − = − − x x y y x x y y . Chú ý: Đường thẳng  đi qua hai điểm A a( ;0) và B b ab (0; )( 0)  có phương trình + =1 x y a b , gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng 1 2  , lần lượt có vectơ chỉ phương là 1 2 u u, . Khi đó - 1 cắt 2 khi và chỉ khi 1 2 u u, không cùng phương. - 1 song song với 2 khi và chỉ khi 1 2 u u, cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại. - 1 trùng với 2 khi và chỉ khi 1 2 u u, cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó. Chú ý: 1 vuông góc với 2 khi và chỉ khi 1 2 u u, vuông góc với nhau. b) Cho hai đường thẳng 1 và 2 có phương trình lần lượt là: 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + + = + + = 0; 0. Xét hệ phương trình: 1 1 1 2 2 2 0 0  + + =   + + = a x b y c a x b y c Khi đó - 1 song song với 2 khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm. - 1 trùng với 2 khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm. 5. Góc giữa hai đường thẳng Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u a b u a b 1 1 1 2 2 2 = = ( ; , ; ) ( ) . Khi đó ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos , a a b b a b a b +   = +  + Nhận xét - 1 2 1 2 1 2  ⊥   + = a a b b 0 . - Cho hai đường thẳng 1 và 2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là 1 2 n n, . Ta cũng có: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 cos , cos , . n n n n n n    = =  6. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng  có phương trình ax by c + + = 0 ( ) 2 2 a b +  0 và điểm M x y ( 0 0 ; ) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  , kí hiệu là d M( , )  , được tính bởi công thức sau: 0 0 2 2 ( , ) ax by c d M a b + +  = + Chú ý: Nếu M  thì d M( , ) 0  = . B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Việc quy đồi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 - 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 - 1736 ) được xác định bởi hai mốc sau: Nước đóng băng ở 0 C,32 F   ;
Nước sôi ở 100 C,212 F   . Trong quy đồi đó, nếu C  a tương ứng với F  b thì trên mặt phẳng toạ độ $O x y$, điểm M a b ( ; ) thuộc đường thẳng đi qua A(0;32) và B(100;212). Hỏi 0 F,100 F   tương ứng với bao nhiêu độ C? Lời giải Ta có = = (100;180) AB u AB . Do đó = − (9; 5) AB n . Mặt khác AB đi qua điểm A(0;32) nên phương trình của AB là 5 160 9 5 160 0 . 9 − − + =  = y x y x Khi 0 F y = ta có 5 0 160 160 C. 9 9   − −  = =     x Khi 100 F y = ta có 0 5 100 160 340 C. 9 9  −   = =     x Vậy 0 F,100 F   tương ưng xấp xi 18 C,38 C   − Câu 2: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2 Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ 0 x Bắc, kinh độ 0 y Đông được tính theo công thức 153 21,2 40 9 105,8 5 x t y t  = −    = +  a. Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ? b. Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ̃tuyến 17 ( ) 0 17 ? B c chưa? Lời giải
a. Nếu máy bay đến Đà Nãng thì ̃ x =16,1 và y =108,2 Ta có: 153 16,1 21,2 40 9 108,2 105,8 5  = −    = +  t t 4 3  =t Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nãng m ̃ ất gần 1,33 giờ b. Tại thời điểm 1 giờ thì t =1 thay vào phương trình có: 153 21,2 .1 17,375 40 9 105,8 .1 107,6 5 x y  = − =    = + =  Vậy tại thời điểm 1 giờ, máy bay đã qua vĩ tuyến 17. Câu 3: Một trò chơi đua xe ô tô vượt sa mạc trên máy tính đã xác định trước một hệ trục toạ độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm M (1;1) với vectơ vận tốc v = (40;30). a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô. b) Tìm toạ độ của xe ứng với t t = = 2; 4 . Lời giải a) 1 40 : ( ); 1 30  = +    = + x t d t y t b) Với t = 2 , toạ độ xe là (81;61) ; Với t = 4 , toạ độ xe là (161;121) . Câu 4: Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với tốc độ là 3 2 m / h vào một cái bể đã chứa sẵn 3 5 m nước.