Title CHƯƠNG 3. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

3.1. Tóm tắt lý thuyết 3.1.1. Góc ở tâm, số đo cung a. Góc ở tâm - Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. Gọi  là số đo góc ở tâm.  Nếu 0180 thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.  Nếu 180 thì mỗi cung là một nửa đường tròn. - Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn. - Ký hiệu cung AB là AB . b. Số đo cung - Số đo của cung AB được kí hiệu là sđAB . - Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. - Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn). - Số đo của nửa đường tròn bằng 180 . Cung cả đường tròn có số đo 360 . - Cung có 2 đầu mút trùng nhau được gọi là cung không, và có số đo 0 . c. So sánh hai cung - Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau. - Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. - Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn. d. Định lí Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sđABsđACsđCB . e. Định lí 1 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:  Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.  Hay dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. f. Định lí 2 Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:  Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.  Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. g. Tính chất - Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. - Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây và ngược lại, đường kính đi qua trung điểm của dây không qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy. 3.1.2. Góc chắn cung a. Góc nội tiếp a) Định nghĩa - Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. - Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. b) Định lí Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn. c) Hệ quả
Trong một đường tròn:  Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.  Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.  Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.  Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. b. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung a) Định lí Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn. b) Hệ quả Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. c. Góc có đỉnh ở bên trong (ngoài) đường tròn 1. Định lí 1 Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. 2. Định lí 2 Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn. 3. Quỹ tích cung chứa góc Với đoạn thẳng AB và góc 0180 cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn AB. 4. Chú ý - Hai cung chứa góc  nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. - Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích - Đặc biệt, quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB. 5. Cách vẽ cung chứa góc  - Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB. - Vẽ tia Ax tạo với AB một góc  . - Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d. - Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ như trên là một cung chứa góc. 6. Cách giải bài toán quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:  Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.
 Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T. Kết luận: Quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình H. 3.1.3. Tứ giác nội tiếp a. Tứ giác nội tiếp 1. Định nghĩa Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp). 2. Định lí - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 . - Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. 3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 . - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn đoạn thẳng chứa hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau. - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cho trước. - Hình thang cân nội tiếp đường tròn. Chú ý: Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân. b. Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp 1. Định nghĩa - Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn. - Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn. 2. Định lí - Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp. - Tâm của hai đường tròn này trùng nhau và được gọi là tâm của đa giác đều. - Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc của đa giác đều. 3. Chú ý Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh đa giác. Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến một cạnh đa giác. Cho n-giác đều cạnh a. Khi đó:  Chu vi của đa giác: 2pna (p là nửa chu vi).  Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng 2.180n n  .  Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng 360 n  .  Bán kính đường tròn ngoại tiếp: 180 2.sin 180 2sin a RaR n n    .  Bán kính đường tròn nội tiếp: 180 2.tan 180 2tan a rar n n    .  Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp: 2 22 4 a Rr .  Diện tích đa giác đều: 1 2Snar 3.1.4. Chu vi và diện tích hình tròn a. Độ dài đường tròn, cung tròn 1. Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi đường tròn)