Title CHƯƠNG 5 - 3_TOAN-10_B2,3_C5_HOAN-VI-CHINH-HOP-TO-HOP_TU-LUAN_HDG.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Page 1 CHƯƠN VG ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI 2, 3: HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP LÝ THUYẾT. I = = = I I . HOÁN VỊ 1) Định nghĩa: Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với là n số tự nhiên, ). n 1 2) Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là ! ( 1)( 2)...1. Pn  n  n n  n  3) Ví dụ: Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập ? 1;2;3;4;5 Lời giải Các số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập là 1;2;3;4;5 một hoán vị của 5 phần tử. Vậy có số 5P  5!120 Câu 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 hành khách: a. Vào 5 ghế xếp thành một dãy. b. Vào 5 ghế xung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này. Lời giải a. 5 hành khách xếp vào 5 ghế của một dãy là một hoán vị 5 phần tử. Do đó có 5P  5!120 cách xếp. b. Vì bàn tròn không phân biệt đầu cuối nên để xếp 5 người ngồi quanh một bàn tròn ta cố định 1 người và xếp 4 người còn lại quanh người đã cố định. Vậy có cách xếp 4 P  4! 24 Chú ý: + Có cách n! xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy. + Có cách n1! xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn tròn nếu không có sự phân biệt giữa các ghế. II . CHỈNH HỢP 1) Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với là các k,n số tự nhiên, ). 1 k  n 2) Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là 1 k  n .   ! ( 1)( 2)...( 1) ! kn n A n n n n k n k        3) Ví dụ: Câu 1: Một tổ trực gồm 8 nam và 6 nữ. Giáo viên muốn chọn ra 5 học sinh trực. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này có ít nhất một nữ sinh.
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Page 2 Lời giải Cách 1:Làm trực tiếp - Chọn 1 nữ, 4 nam có 1 4 C6C8 - Chọn 2 nữ, 3 nam có 2 3 C6C8 - Chọn 3 nữ, 2 nam có 3 2 C6C8 - Chọn 4 nữ, 1 nam có 4 1 C6C8 - Chọn 5 nữ 5 C6 Vậy có + + + + cách. 1 4 C6C8 2 3 C6C8 3 2 C6C8 4 1 C6C8 5 6 C 1946 Cách 2: Làm gián tiếp Chọn 5 học sinh nam có cách 5 8 C  56 Để chọn 5 học sinh bất kì trong 14 học sinh có cách 5 14 C  2002 Vậy số cách chọn 5 học sinh có ít nhất 1 nữ là cách 2002  56 1946 Câu 2: Có 30 câu hỏi gồm 15 dễ, 10 trung bình, 5 khó, sắp xếp thành các đề, mỗi đề có 5 câu đủ ba loại, số câu dễ không ít hơn hai. Hỏi lập được bao nhiêu đề? Câu 3: Có bao nhiêu cách chia một lớp 40 học sinh thành 4 tổ sao cho mỗi tổ có 10 học sinh? III. TỔ HỢP 1) Định nghĩa: Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k,n là các số tự nhiên, ). 0  k  n 2) Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là (1 k  n)   ( 1)( 2)...( 1) ! ! ! ! ! k k n n A n n n n k n C k k k n k         3) Ví dụ: Câu 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác 0 được thành lập từ hai trong  năm điểm trên? Lời giải Cứ hai điểm phân biệt sẽ lập được 2 vectơ do đó số vectơ khác 0 được lập từ 5 điểm A, B, C,  D, E là một chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy có vectơ. 2 5 A  20 Câu 2: Tổ 1 gồm 10 em, bầu ra 3 cán sự gồm một tổ trưởng, một tổ phó, một thư kí (không kiêm nhiệm) Hỏi có bao nhiêu cách. Lời giải Chọn 3 cán sự trong 10 bạn là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử. Vậy có cách. 3 10 A  720 IV. TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐ k Cn Tính chất 1: Cho số nguyên dương và n số nguyên k với . Khi 0  k  n đó . k n k Cn Cn   Tính chất 2: Cho các số nguyên và n k với . Khi 1 k  n đó . 1 1 k k k Cn Cn Cn     BÀI TẬP.
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Page 3 Câu 1. Một họa sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh? Lời giải Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh khác nhau thành một hàng ngang là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy số cách sắp xếp các bức tranh là: (cách). 10! 3628800 Câu 2. Từ các chữ số có 0, 1, 2, 3, 4 thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau? Lời giải Gọi số cần tìm có dạng . abc a  0 Chọn chữ số a từ các chữ số có (cách). 1, 2, 3, 4 4 Ứng với mỗi cách chọn có a số cách chọn bộ bc từ 4 chữ số còn lại là (cách). 2 A4 Áp dụng quy tắc nhân, số các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau là: (số). 2 4 4.A  48 Câu 3. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn ? Có bao nhiêu 100 cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn ? 100 Lời giải a) Gọi tập hợp cần tìm có dạng . a;b, 0  a, b 100, a, b Mỗi tập hợp là một tổ hợp chập 2 của . 99 Vậy số cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn là: (cách). 100 2 99 C  4851 b) Gọi tập hợp cần tìm có dạng . a;b;c, 0  a, b, c 100, a, b, c Mỗi tập hợp là một tổ hợp chập 3 của . 99 Vậy số cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn là: (cách). 100 3 99 C 156849 Câu 4. Bạn Hà có viên bi xanh và viên bi 5 7 đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng viên bi 2 khác màu? Lời giải Chọn một bi xanh từ viên bi xanh có (cách). 5 5 Ứng với mỗi cách chọn một bi xanh có số cách chọn một bi đỏ từ viên bi 7 đỏ là (cách). 7 Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn ra đúng viên bi khác màu là: (cách). 2 5.7  35 Câu 5. Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua. a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam? b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ? c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ? Lời giải a) Mỗi cách chọn 4 bạn nam từ 10 bạn nam là một tổ hợp chập 4 của . 10
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN 10 – CHƯƠNG V – ĐẠI SỐ TỔ HỢP Page 4 Số cách chọn là: (cách). 4 10 C  210 b) Mỗi cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ là một tổ hợp chập 4 của . 17 Số cách chọn là: (cách). 4 17 C  2380 c) Số cách chọn 2 bạn nam từ 10 bạn nam là (cách). 2 10 C  45 Ứng với mỗi cách chọn 2 bạn nam, số cách chọn 2 bạn nữ từ 7 nữ là (cách). 2 7 C  21 Vậy số cách chọn 2 bạn nam và 2 bạn nữ là: (cách). 21.45  945 Câu 6. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà 5 mỗi số có bốn chữ số khác nhau? Lời giải Gọi số cần tìm có dạng trong abcd đó . a  0, c, d 0;5 TH1: d  0 Chọn chữ số có (cách). a 9 Ứng với mỗi cách chọn có a số cách chọn bộ bc từ 8 chữ số còn lại là (cách). 2 A8 Số các số lập được là: (số). 2 8 9.A  504 TH1: d  5 Chọn chữ số có (cách). a 8 Ứng với mỗi cách chọn có a số cách chọn bộ bc từ 8 chữ số còn lại là (cách). 2 A8 Số các số lập được là: (số). 2 8 8.A  448 Vậy số các số tự nhiên chia hết cho và có 5 bốn chữ số khác nhau là: 448  504  952 (số). II HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. = = =I DẠNG 1: HOÁN VỊ: 1 PHƯƠNG PHÁP. = = =I Khi giải bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng hoán vị nếu có 2 dấu hiệu sau: *Chọn hết các phần tử của X. *Có sắp xếp theo một thứ tự nào đó. 2 BÀI TẬP. = = =I Câu 1. Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam, 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có bao nhiêu cách, nếu : a . Nam và nữ được xếp tùy ý. b. Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế. Lời giải a . Mỗi cách xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế một cách tùy ý là một hoán vị của 10 người. Vậy có cách 10! 3628800 xếp.