Title Nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỷ_GV.pdf ✅

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỷ Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ     P x I dx Q x   .  Nếu bậc của tử số P x  bậc của mẫu số Q x PPChia đa thức.  Nếu bậc của tử số P x  bậc của mẫu số Q x PP phân tích mẫu Q x thành tích số, rồi sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số.  Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X  a tant , nếu mẫu đưa được về dạng 2 2 X  a . Câu 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số   2 2 1 2 x x f x x    . A. 1 2 x C x    . B. 2 ln 2 2 x  x C. C. 2 x ln x2 C. D.   2 1 1 2 C x    . Lời giải Chọn B Ta có   2 2 1 1 2 2 x x f x x x x        . Do đó họ các nguyên hàm của f  x là 2 ln 2 2 x  x C. Câu 2: Cho     1 dx 3 F x x x    . Kết quả nào sau đây đúng ? A.   2 3 ln 3 x F x C x    . B.   2 ln 3 3 x F x C x    . C.   1 ln 3 3 x F x C x    . D.   1 ln 3 3 x F x C x     . Lời giải Chọn C Ta có     1 1 1 1 dx dx 3 3 3 F x x x x x              1 ln 3 3 x C x    . Câu 3: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số   2 1 f x x x   ? A. F  x  ln x  ln x 1 . B. F  x  ln x  ln x 1 . C. F  x  ln x  ln x 1 . D. F  x  ln x  ln x 1 . Lời giải Chọn B A VÍ DỤ MINH HỌA
CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 2 2 1 1 1 1 : 2 . 2 2 1 1 1 : 3 . 6 2 3 1 1 1 ln 1 ln . 1 1 A B x x x x Thay x A B Thay x A B A dx x x C B x x                                  Câu 4: Cho biết    2 13 d ln 1 ln 2 1 2 x x a x b x C x x          . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a  2b  8 . B. a  b  8 . C. 2a  b  8 . D. a  b  8 . Lời giải Chọn D Ta có    2 13 d 1 2 x x x x     5 3 d 1 2 x x x            1 1 5 d 3 d 1 1 x x x x        5ln x 1  3ln x  2 C . Vậy 5 3 a b        a  b  8 . Câu 5: Cho hàm số   2 1 2 f x x   . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. f  x dx  ln 1 2x C  . B.   1 d ln 1 2 2 f x x    x C  . C. f  x dx  2ln 1 2x C  . D. f  x dx  4ln 1 2x C  . Lời giải Chọn A Ta có   2 1 2 d d 2 d ln 1 2 ln 1 2 1 2 1 2 2 f x x x x x C x C x x                . Câu 6: Họ các nguyên hàm F x của hàm số   3 1 x f x x    là A. F x  xln x1 C. B. F x  xln x1 C. C. F x  x2ln x1 C. D. F x  x2ln x1 C. Lời giải Chọn D Ta có:     3 2 d d 1 d 2ln 1 1 1 x F x f x x x x x x C x x                     .
Câu 1: Trên khoảng (-5;+¥), họ nguyên hàm của hàm số   1 5 f x x   là A. ln x  5 C . B. 1 5 C x   . C. 1 ln 5 5 x  C . D.   2 1 5 C x    . Lời giải Chọn A Áp dụng công thức   d 1 ln 0 x ax b C a ax b a       ta được d ln 5 5 x x C x      . Câu 2: Cho hàm số   3 1 f x x x   . Khẳng định nào sau đây đúng? A.   2 2 1 f x dx 3x C x     . B.   4 d 4 x f x x  C  . C.   2 2 1 f x dx 3x C x     . D.   4 d ln 4 x f x x   x C  . Lời giải Chọn D Ta có   4 3 1 d d ln 4 x f x x x x x C x              . Câu 3: Cho hàm số   4 f x  sin x  5x . Khẳng định nào sau đây đúng? A.   3 f x dx  cos x  20x C  . B.   3 f x dx  cos x  20x C  . C.   5 f x dx  cos x  x C  . D.   5 f x dx  cos x  x C  . Lời giải Chọn C Ta có   5 f x dx  cos x  x C  . Câu 4: Họ các nguyên hàm 1 2 1 dx x   là A. ln 2x 1 C . B. ln 2x 1 C . C. ln 2 1 2 x C   . D. ln 2 x C . Lời giải Chọn C Ta có 1 1 ln 2 1 2 1 2 dx x C x      . Câu 5: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số   2 3 1 x f x x    trên khoảng 1; là A.   2 1 2 1 x C x    . B. 2x  ln x 1 C . C. 2x  3ln x 1 C . D.   2 1 2 1 x C x    . Lời giải B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
CHƯƠNG 05: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 4 Chọn B Ta có:   2 3 1 d 2 d 2 ln 1 1 1 x x x x x C x x                  Câu 6: Biết 1 2 0 1 d ln 2 ln 3 3 2 x a b x x      với a,b là các số nguyên. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. a  2b  0 . B. a  b  2 . C. a  2b  2 . D. a  b  2 . Lời giải Chọn A Lí thuyết. 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 1 d d ln 3 2 1 2 2 x x x x x x x x                  2 1 ln ln 2ln 2 ln 3 3 2     . Suy ra a  2,b  1  a  2b  0 . Câu 7: Họ nguyên hàm 2 1 dx x  x  là A. ln x  x 1 C . B. ln 1 x C x   . C. 1 ln x C x  . D. ln x  x 1 C . Lời giải Chọn C Ta có 2 1 1 1 1 ln ( 1) 1 dx x dx dx C x x x x x x x                   . Câu 8: Cho biết   2 2 7 d ln 2 ln 3 , 5 6 x x a x b x C a b x x            . Tính 2 2 P  a  ab  b . A. P  3. B. P 12. C. P  7 . D. P 13. Lời giải Chọn C Ta có    2 2 7 2 7 3 1 d d d 3ln 2 ln 3 5 6 2 3 2 3 x x x x x x x C x x x x x x                          . Nên 2 2 3 7 1 a P a ab b b            . Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số 1 ( ) ( 1) f x x x = - là: A. 1 1 ln ( 1) 2 dx x C x x x- = + - ò . B. ln ( 1) 1 dx x C x x x = + - - ò . C. 1 ln ( 1) dx x C x x x- = + - ò . D. 1 ln ( 1) 2 1 dx x C x x x = + - - ò . Lời giải Chọn C Ta có: ( 1) 1 ln 1 ln ln ( 1) ( 1) 1 dx x x dx dx x dx x x C C x x x x x x x - - - = = - = - - + = + - - - ò ò ò ò