Title Chương 3_Bài 1_Giới hạn dãy số_CD_Lời giải.pdf ✅

CHƯƠNG 3 : GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn 0 như sau: Dãy số un  có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim 0 n n u   . Chú ý: Ngoài kí hiệu lim 0 n n u   , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim 0 n u  hay 0 n u  khi n   Ta có: 1 lim 0 n  . Nhận xét: Nếu n u ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim 0 n u  . -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn như sau: Dãy số un  có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu lim   0 n n u a    , kí hiệu lim n n u a   Chú ý: Ngoài kí hiệu lim n n u a   , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim n u  a hay n u  a khi n   Chú ý: -Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. -Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số un  với ( 1) n n u   . 2. Một số giới hạn cơ bản Ta có thể chứng tỏ được các giới hạn sau: a) 1 1 lim 0;lim 0 k n n   với k là số nguyên dương cho trước; b) lim 0;lim 0 k c c n n   với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước; c) Nếu q 1 thì lim 0 n q  ; d) Dãy số un  với 1 1 n n u n         có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e , 1 lim 1 n e n         Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045. II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Ta có định lí về giới hạn hữu hạn của một tổng, của một hiệu, của một tích, của một thương và của một căn thức như sau: a) Nếu lim n ,lim n u  a v  b thì:         lim ; lim . lim . ; lim 0, 0 . . n n n n n n n n nu v a b u v a b u v a b u a v b v b          
b) Nếu 0 n u  với mọi n và lim n u  a thì a  0 và lim n u  a . III. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Trong trường hợp tổng quát, ta có: Cấp số nhân vô hạn 1 1 1 1 , , , , n u u q u q    có công bội q thoả mãn q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là: 2 1 1 1 1 1 u S u u q u q q      . IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC -Ta có định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực như sau: Ta nói dãy số un  có giới hạn  khi n   , nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu : lim n n u      hay lim n u   hay n u   khi n   . -Ta nói dãy số un  có giới hạn  khi n   nếu lim  n  n u       . Kí hiệu lim n n u      hay lim n u   hay n u   khi n   . Nhận xét lim k n   với k là số nguyên dương cho trước. lim n q   với q 1 là số thực cho trước. Nếu lim n u  a và lim n v   (hoặc limvn    thì lim 0 n n u v  . Nếu lim , 0 n u  a a  và lim 0, 0 n n v  v  với mọi n thì lim n n u v   . limun    limun    . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Cho hai dãy số un ,vn  với 2 1 2 3 ; 5 n n u v n n     . Tính các giới hạn sau: a) lim n ,lim n u v . b) lim ,lim ,lim . ,lim n n n n n n n n u u v u v u v v   Lời giải a) Ta có: l . 1 1 im u lim 3 lim3 lim 3 0 3 n n n              2 2 2 2 lim lim 5 lim5 lim 5 0 5. n v n n              b)
      lim lim lim 3 5 8 lim lim lim 3 5 2 lim lim lim 3.5 15 lim 3 lim lim 5 . . n n n n n n n n n n n n n n n n u v u v u v u v u v u v u u v v                   Bài 2. Tính các giới hạn sau: a) 5 1 lim 2 n n  ; b) 2 2 6 8 1 lim 5 3 n n n    ; c) 2 5 3 lim 6 2 n n n    ; d) 1 lim 2 3 n        ; e) 3 2 lim 4.3 n n n  ; g) 1 2 lim 3 n n  . Lời giải 5 1 5 1 5 1 5 a) lim lim lim lim 2 2 2 2 2 2 n n n n             . b) 2 2 2 2 2 2 8 1 8 1 6 lim 6 6 8 1 6 lim lim 5 3 3 3 5 5 lim 5 n n n n n n n n n                         . c) 2 2 2 5 3 5 3 1 lim 1 5 3 1 lim lim 6 2 2 2 6 6 lim 6 n n n n n n n n n                   . d) n n1 1 lim 2 lim2 lim 2 0 2 3 3                   . e) n n n n n 2 2 lim 1 1 3 2 3 3 1 lim lim 4.3 4 lim4 4                         . g) n n 1 1 2 lim 2 lim 0 3 lim3 n n           . Bài 3. a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn un  , với 1 2 1 , 3 4 u  q   . b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,6 dưới dạng phân số. Lời giải a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn n u , với 1 2 3 u  , 1 4 q   là:
n 2 1 1 2 3 4 3 8 S lim . 1 5 15 1 4 4                        b) Ta có: 1,6 1 0,6 1 0,6  0,06  0,006  0,000006  Dãy số 0,6; 0,006; 0,0006; ... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu 1 u  0,6 và công bội 1 10 q  có q 1 nên ta có: 0,6 2 0,6 0,06 0,006 0,000006 . 1 3 1 10       Suy ra   2 5 1, 6 1 3 3    . Bài 4. Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1 , người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. a) Tính diện tích n S của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n ; b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành. Lời giải a) Gọi n S là diện tích của hình vuông thứ n . Ta có: 2 1 2 3 1 1 S 1;S ;S ; 2 2           Dãy Sn  lập thành cấp số nhân có số hạng đầu 1 S 1 và công bội 1 2 q  có công thức tổng quát là: 1 1 2 n n S         . b) Ta có: 1 1 2 q   nên dãy Sn  trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn nên ta có: 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2. 2 2 2 2 1 1 2 n S                            Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt). Bài 5. Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T  24000 năm thì một nửa số chất