Title °TDs EXAMENS SMAI ALGEBRE2 FSAC-CASABLANCA.pdf ✅

d’ou x ∈ CS Exercice 2 Soit (G, .) un groupe et H un sous groupe de G 1) Montrer que H.H = H 2) Si A un sous ensemble de G. On pose NA = {x ∈ G/ x.A = A.x}. a) Montrer que NH est un sous groupe de G b) Soit K un sous groupe de G. Montrer que NH T NK ⊂ NH.K Solution Exercice 2 Soit (G, .) un groupe et H un sous groupe de G 1) Montrer que H.H = H Soit x ∈ H.H alors x = h1.h2 avec h1, h2 ∈ H comme H est un sous groupe x = h1.h2 ∈ H Soit x ∈ H alors x = e |{z} ∈H x |{z} ∈H ∈ HH 2) Si A un sous ensemble de G. On pose NA = {x ∈ G/ x.A = A.x}. a) Montrer que NH est un sous groupe de G Soit x, y ∈ NH alors xyH = xHy = Hxy D’ou xy ∈ NH xH = Hx alors x −1xHx−1 = x −1Hxx−1 donc Hx−1 = x −1H D’ou x −1 ∈ NH et par suite NH est sous groupe de G b) Soit K un sous groupe de G. Montrer que NH T NK ⊂ NH.K Soit x ∈ NH T NK alors x.H.K = H.x.K = H.K.x car x ∈ NH et x ∈ NK Exercice 3 On Consid`ere le groupe (S14, o) 1) D ́eterminer l’inverse des cycles c1 = (2, 4, 7, 8) et c2 = (1, 6, 3, 5, 2, 4). 2) Soit la permutation u d ́efinit par u = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 4 8 10 7 3 6 5 9 12 11 a) Exprimer u sous forme d’un produit de cycles disjoint. b) Supposons que c = (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9). Exprimer c en fonction des transpositions c) En d ́eduire u en fonction des transpositions 8
d) D ́eterminer l’inverse et l’ordre de u. e) Calculer u 10001000 . f) Calculer o(u). Solution Exercice 3 On Consid`ere le groupe (S14, o) 1) D ́eterminer l’inverse des cycles c1 = (2, 4, 7, 8) et c2 = (1, 6, 3, 5, 2, 4). c −1 1 = (8, 7, 4, 2), c −1 2 = (4, 2, 5, 3, 6, 1) 2) Soit la permutation u d ́efinit par u = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 4 8 10 7 3 6 5 9 12 14 11 13 a) Exprimer u sous forme d’un produit de cycles disjoint. u = (3, 4, 8, 6, 7)(5, 10, 9)(11, 12, 14, 13) b) Supposons que c = (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9). Exprimer c en fonc- tion des transpositions (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9) = (a1, a2)(a2, a3)(a3, a4)(a4, a5)(a5, a6)(a6, a7)(a7, a8)(a8, a9) c) En d ́eduire u en fonction des transpositions u = (3, 4, 8, 6, 7)(5, 10, 9)(11, 12, 14, 13) = (3, 4)(4, 8)(8, 6)(6, 7)(5, 10)(10, 9)(11, 12)(12, 14)(14, 13) d) D ́eterminer l’inverse et l’ordre de u. u −1 = ((3, 4, 8, 6, 7)(5, 10, 9)(11, 12, 14, 13))−1 = (11, 12, 14, 13)−1 (5, 10, 9)−1 (3, 4, 8, 6, 7)−1 = (13, 14, 12, 11)(9, 10, 5)(7, 6, 8, 4, 3) e) Calculer u 10001000 . On a 1000 = 0 [4] ainsi 10001000 = 0 [4] donc 10001000 = 4K1 avec K1 ∈ IN 1000 = 1 [3] ainsi 10001000 = 1 [3] donc 10001000 = 1 + 3K2 avec K1 ∈ IN 1000 = 0 [5] ainsi 10001000 = 0 [5] donc 10001000 = 5K3 avec K1 ∈ IN (11, 12, 14, 13)10001000 = (11, 12, 14, 13)4K1 = ((11, 12, 14, 13)4 ) K1 = idk1 = id (9, 10, 5)10001000 = (9, 10, 5)1+3K2 = (9, 10, 5)((9, 10, 5)3 ) K2 = (9, 10, 5)idk2 = (9, 10, 5) (7, 6, 8, 4, 3)10001000 = (7, 6, 8, 4, 3)5K3 = ((7, 6, 8, 4, 3)5 ) K3 = idk3 = id u 10001000 = (12, 11, 14, 13)10001000 (9, 10, 5)10001000 (7, 6, 8, 4, 3)10001000 = id(9, 10, 5)id = (9, 10, 5) 9