Title Bài 05_Dạng 02. Một số bài toán tối ưu đơn giản_GV.pdf ✅

2 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Từ bảng biến thiên suy ra ( ) ( ) 2 0; 3 3 max a 2 4 a a f x f   = =     Vậy bác nông dân có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là 2 3 3 4 a 2 m . Bài tập 2: Có hai xã AB, cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là AA = 550 m, BB = 600 m. Người ta đo được A B  = 2200 m như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm cạnh bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn AB  sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó. Lời giải Đặt A M x x  =   (0 2200), B M x  = − 2200 Ta có ( ) 2 2 2 2 AM x BM x = + = − + 500 , 2200 600 Khi đó tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí M là: ( ) 2 2 2 2 AM BM x x + = + + − + 500 2200 600 Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 2 2 f x x x = + + − + 500 2200 600 trên khoảng (0;2200) Đạo hàm ( ) ( ) 2 2 2 2 2200 0 1000 500 2200 600 x x f x x x x −  = − =  = + − + Bảng biến thiên: Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông là khoảng 2460 m, tại vị trí M cách điểm A là 1000m.
GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 3 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Bài tập 3: Ông A dự định sử dụng hết 2 5,5m kính để làm một bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? Lời giải Gọi x m là chiều rộng. ( 0) x . Chiều dài là 2x m . Chiều cao là h m . h 0 Theo đề bài, ta có: 2 2 4 2 5,5 x xh xh 2 2 6 5,5 x xh 2 5,5 2 6 x h x Vì h 0 và x 0 nên 2 11 5,5 2 0 0 2 x x . Suy ra thể tích của bể cá là: 2 3 5,5 2 2 3 3 V x h x x với 11 0 2 x . 11 2 2 6 V x 33 ( ) 6 0 33 ( ) 6 x N x L Thể tích lớn nhất của bể cá là: 33 3 1,17 6 V V m max . Bài tập 4: Từ một mảnh giấy hình vuông cho trước cắt thành hai hình tròn sao cho tổng diện tích của hai hình tròn là lớn nhất. Gọi k k( 1) là tỉ số bán kính của chúng khi đó. Hỏi giá trị k bằng bao nhiêu? Lời giải Gọi đường chéo hình chữ nhật là a . Ta có: 1 2 a R r + = + . Tìm max của 2 2 R r + . Khảo sát hàm, ta tìm được 2 2 a R = Từ đó ta tìm được k = − 2 1.
4 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Bài tập 5: Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)? Lời giải Gọi x x (0 60   ) là chiều dài của đoạn thứ hai, suy ra 60 − x là độ dài đoạn thứ nhất. Khi đó cạnh hình vuông là 15 4 x − nên diện tích hình vuông là 2 15 4   x   −   . Chu vi của vòng tròn là 2 2 x R x R  =  = . Khi đó diện tích hình tròn là 2 2 4 x R  = . Khi đó tổng diện tích của hai hình sẽ là ( ) 2 2 15 4 4 x x f x    = + −     . Khi đó ta có ( ) 1 1 1 15 15 2 2 4 2 4 2 x x x f x        = − − = + −         . Cho ( ) 15 0 1 1 4 f x x   =  = + . Suy ra tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi 60 4 x   = + . Khi đó cạnh hình vuông sẽ là 60 60 33,61 4   −  + . Bài tập 6: Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài 4 m để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi r là bán kính của nửa đường tròn. Tìm r để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất. Lời giải Ta có 2 4 (h r r + + = )  4 2 2 r r h − −  = . Diện tích của khung cửa là 1 2 2 2 S r rh = +  1 4 2 2 2 2 2 r r r r     − − = +     4 2 . 4 2 r r  + = − + . Ta có 4 2 4 0 0 2 2 r r h r   − − =     + .