Title Chương 5_Bài 15_ _KNTT_Lời giải.pdf ✅

CHƯƠNG V: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa 1: Ta nói dãy số un  có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kỉ hiệu lim 0 n n u   hay 0 n u  khi n   . Chú ý. Tữ định nghĩa dãy số có giới hạn 0 , ta có các kết quả sau: - 1 lim 0 k n n  với k là một số nguyên dương; - lim 0 n n q   nếu | q |1; - Nếu n n u  v với mọi n 1 và lim 0 n n v   thì lim 0 n n u   . Định nghĩa 2: Ta nói dãy số un  có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu lim   0 n n u a    , kí hiệu lim n n u a   hay n u  a khi n   . 2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN a) Nếu lim n u = a và lim n v = b thì · lim(un +vn )= a+b · lim(un -vn )= a-b lim( . ) . n n · u v = a b lim n n u a v b æ ö ç ÷ · = è ø (nếu b 1 0 ). b) Nếu lim 0, n n u a u n ìï = í ï 3 " î thì lim . 0 n u a aìï = í ï î 3 3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn (un ) có công bội q , với q <1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 2 3 ( ) 1 1 . 1 S n u u u u u q q = + + + + = - 1⁄4 +1⁄4 < 4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ • Ta nói dãy số un  có giới hạn là  khi n   , nếu n u có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim n u   hay n u   khi n  . • Dãy số un  có giới hạn là  khi n   , nếu limun    . Kí hiệu: lim n u   hay n u   khi n  . Nhận xét: lim lim  . n n u    u   Ta thừa nhận các kết quả sau

a) 2 2 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 lim lim lim 2 1 2 1 2 1 lim x n x x x x n n n u n n n n n                           . Ta có: 2 2 1 2 1 lim 1 1, lim 0 x n x n n                 suy ra lim n x u     . 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 1 b) lim lim 2 1 lim 2 1 1 1 1 lim lim 2 1 1 2 1 1 n n n n n n n n v n n n n n n n n n n n n n                                    Bài 5.4. Viết các số thập phân vô hạn phân số: a) 1,12 1,121212. ; b) 3,102  3,102102102 Lời giải a) 1,1212121 0,12  0,0012  0,000012  2 4 6 2 4 6 1 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10                     là tổng cấp số nhân lùi vô hạn vởi 2 2 1 u 12 10 ,q 10      nên 2 1 2 12 10 37 1,121212 1 1 1 1 10 33 u q           b) 3,102102102 3 0,102  0,000102  0,000000102  3 6 9 3 102 10 102 10 102 10            3 6 9 102 10 102 10 102 10          là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với 3 3 1 u 102 10 ,q 10      nên   3 1 3 102 10 1033 3, 102 3 3 1 1 10 333 u q           . Bài 5.5. Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg . Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài. Lời giải Đặt r  5% a) • Sau khi uống viên thuốc ngày thứ 1, hàm lượng thuốc trong cơ thể là 1 u 150mg • Sau khi uống viên thuốc ngày thứ 2, hàm lượng thuốc trong cơ thể là u2  5%u1 150  5%.150150 1501 r • Hàm lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 3 là     2 3 2 u  5%u 150 150 1 r r 150 150 r  r 1 • Hàm lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ 4 là     2 3 2 4 3 u  5%u 150 150 r  r 1 r 150 150 r  r  r 1