Title Chuyên đề 11. PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN.doc ✅

Chương 3. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chuyên đề 11 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. Kiến thức cần nhớ 1. Quy tắc thế Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành một hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế gồm hai bước sau: ● Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn) ● Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1) 2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ● Dùng quy tắc để biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn. ● Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. 3. Quy tắc cộng đại số Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm 2 bước sau: ● Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới. ● Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia). 4. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số ● Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. ● Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)
● Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho 5. Phương pháp đổi biến B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải hệ phương trình          13 2 2 21 11 2 xy xy (Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Vĩnh Long, năm học 2012 -2013) Giải Tìm cách giải. Bài toán nếu quy đồng mẫu rồi khử mẫu của mỗi phương trình thì sẽ tạo ra phương trình bậc hai có hai ẩn nên khó giải. Quan sát kỹ đề bài, chúng ta thấy, hai phương trình có phần mẫu giống nhau. Do đó nên dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đơn giản hơn. Trình bày lời giải Điều kiện 0x ; 2y Đặt 1 a x ;   1 2b y Hệ phương trình có dạng    32325 21163331 ababa ababb Suy ra        1 5 1 1 2 x y      1 5 21 x y      1 5 3 x y (TMĐK) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình           1224 3 22 8 1 22 y xyxy xy xyxy (Tuyển sinh lớp 10, Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh, 2012 - 2013)
Giải Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta thấy cần dùng phương pháp đổi biến. Tuy nhiên các tử thức vẫn còn chứa ẩn, do đó chúng ta cần biến đổi tách phần nguyên trước khi đổi biến. Trình bày lời giải Điều kiện: 2xy và 20xy           124 3 22 8 1 22 xy xyxy xy xyxy          1414 132 2222 2828 110 2222 xyxyxyxy xyxyxyxy Đặt   1 2u xy ;   1 2v xy Hệ phương trình có dạng:       1 4242 1 28040 4 u uvuv uvuvv Suy ra:           1 1 212 1124 24 xyxy xy xy    32 241 xyx xyy (TMĐK) Vậy nghiệm của hệ phương trình là ;2;1xy Ví dụ 3: Xác định hàm số fx biết    1 2.fxfx x với 0x Giải
Tìm cách giải. Bài toán này gọi là giải phương trình hàm. Ta cần chuyển về dạng giải hệ phương trình. Từ đề bài chúng ta coi fx và    1 f x là ẩn thì ta đã có một phương trình. Để xuất hiện phương trình thứ hai, chúng ta nên đổi vai trò của biến bằng cách thay x bằng 1 x . Từ đó ta có lời giải sau. Trình bày lời giải Thay x bằng 1 x ta được    11 2ffx xx Từ đó ta có hệ phương trình:                11 22. 2 3 1112 2.4.2.. fxfxfxfx xx fxx x ffxfxf xxxx 22 3 x fx x Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm 1;3;3;1;3;5ABC . Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. Giải Tìm cách giải. Trong mặt phẳng tọa độ, để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta thực hiện: - Bước 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. - Bước 2. Chứng tỏ tọa độ điểm thứ ba thỏa mãn phương trình vừa tìm được. Trình bày lời giải Đặt phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt 1;3vµB3;1A là yaxb . Ta có:    3441 31312 abaa ababb Suy ra phương trình đường thẳng d là: 2yx