Title 13. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH THOI.doc ✅

B. Chủ đề 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC. 3. Hình thoi. Bài 01. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hình thoi ABCD có 1;2A , phương trình đường thẳng BD là 10xy . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình thoi, biết rằng 2BDAC và B có tung độ âm. Định hướng: Bài toán này khá cơ bản, chỉ việc sử dụng tính chất hai đường chéo vuông góc với nhau tại mỗi đường. Viết phương trình đường thẳng AC . Tìm tọa độ tâm I là giao điểm của AC và BD . Suy ra tọa độ điểm C . Tham số hóa tọa độ điểm B từ 22BDACIBIA Lời giải: Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với BD nên có phương trình 30xy . Tọa độ giao điểm I của AC và BD là nghiệm của hệ phương trình 1022;1 301 xyx I xyy    . Vì I là trung điểm của AC nên suy ra 3;0C . Gọi ;1Bbb . Do 2222222422824BCACIBIAIBIAbbb 4 0 b b     . Vì B có tung độ âm nên 0;14;3BD . Vậy 0;1,3;0,4;3BCD . Bài 02. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm 2;1I và 2ACBD . Điểm 1 0; 3M   thuộc đường thẳng AB , điểm 0;7N thuộc đường thẳng CD . Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương. N D IAC B N'M Định hướng: Với giả thiết bài toán là hình thoi có tọa độ tâm I và 2 điểm ,MN nằm trên 2 cạnh song song ,ABCD của hình thoi, thì hướng ta có cách nghĩ lấy điểm đối xứng của một điểm qua tâm I , chẳng hạn 'N đối xứng với N qua I thì 'NAB .
Viết phương trình đường thẳng AB . Tính được ;IABd . Sử dụng hê thức 2ACBD , tính được IBB . Lời giải: Gọi 'N đối xứng với N qua I thì 'NAB , ta có '4;5N . Phương trình đường thẳng :4310ABxy . Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là ;22 4.23.11 2 43IABd   . Vì 2ACBD nên 2AIBI , đặt 2BIxAIx trong tam giác vuông ABI có:  22222 ;AB 111111 55 44 I xBI dIAIBxx . Tọa độ B là nghiệm của hệ: 22 1;1 4310 13 ;215 55 xy xy xyxy          . Vì B có hoành độ dương nên 1;1B .  Bài 03 [Trích Đề thử sức trước kì thi THTT- 2015]. Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm 2;1I và 2ACBD . Điểm 1 0; 3M   thuộc đường thẳng AB , 0;7N thuộc đường thẳng CD . Tìm tọa độ điểm P biết 5BPBI→→ và điểm B có hoành độ dương . Định hướng: Yêu cầu bài toán tọa độ điểm P biết 5BPBI→→ nghĩa là hệ thức cho ta mối quan hệ ba điểm ,,BPI mà điểm I đã có tọa độ, do đó thực chất chỉ cần tìm tọa độ điểm B .Liệu ?BABBCABBD .Yếu tố định lượng 2ACBD cho ta cách nghĩ xác định giá trị lượng giác của góc liên quan là  cosABD . Giả thiết có điểm 1 0; 3M   thuộc đường thẳng AB , 0;7N thuộc đường thẳng CD cùng với nhận xét ,ABCD đối xứng nhau qua I . Do đó phương trình đường thẳng AB được xác định đi qua M và 'N là điểm đối xứng của N qua .I Như thế viết được phương trình đường thẳng ,ABBD , bài toán xem như có hướng giải.
Lời giải: Gọi 'N đối xứng với N qua I thì '4;5N . Đường thẳng AB đi qua M và 'N nên có phương trình 4310xy . Ta có 2ACBD nên 1 2tan2cos 5 IA IAIBABDABD IB . Gọi phương trình đường thẳng BD có dạng 210axby với 220ab . Theo bài ra ta có 222222 22 4321 cos,516249112440 11255 abab ABBDabaabbaabb abab      Với 2ab , chọn 21ab ta có phương trình 230xy . Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình 43101 2301 xyx xyy    . Với 112ab , chọn 211ab ta có phương trình :21170BDxy Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ 1 43105 211703 5 x xy xy y          . Vì B có hoành độ dương nên 1;1B . Từ   15216 5 91511 PP PP xx BPBI yy      →→ . Vậy 6;9P . Bài 04. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: 7310xy hai đỉnh ,BD lần lượt thuộc các đường thẳng 12:80,:230dxydxy . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm. Định hướng: Phân tích bài toán ta thấy có thể giải bài toán bằng cách sử dụng tham số hóa tọa độ. Tham số hóa tọa độ ,BD . Chú ý đến tính chất của hình thoi trung điểm của BDAC và ACBD tại tâm I của hình thoi. Sử dụng giả thiết diện tích hình thoi bằng 75 tính được IA . Suy ra ,AC Lời giải:
Gọi 12;8,23;BbbdDddd . Khi đó 23;8BDbdbd→ và trung điểm của BD là 238 ; 22 bdbd I   . Theo tính chất hình thoi ta có : 8131300 69901 BDACbdb IACbdd    . Suy ra 0;8,1;1BD .. Khi đó 19 ; 22I    ; 731;AACAaa . Theo bài ra ta có 2115 .152 22 ABCD ABCD S SACBDACIA BD . Do đó 222 363922599 7 222246 a aaa a     Vì A có hoành độ âm nên 11;6A . Suy ra 10;3C . Bài 05. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD đường thẳng chứa AC có phương trình là: 10xy . Điểm 9;4E nằm trên đường thẳng AB , điểm 2;5F thuộc AD và 22AC . Tìm độ các đỉnh của hình thoi ABCD biết đỉnh C có hoành độ âm. Định hướng : Khai thác tính chất của hình thoi : Đường chéo của hình thoi xuất phát từ đỉnh nào đều là đường phân giác của góc ở mỗi đỉnh đó. Bài toán cho phương trình đường thẳng chứa AC và E thuộc AB nên cách xử lý quen thuộc là lấy điểm 'E đối xứng của E qua AC thì 'EAD . Viết phương trình AD , suy ra tọa độ điểm A . Tham số hóa tọa độ điểm C . Từ 22ACCI . Viết phương trình đường thẳng BD . Từ đó DB .