Title 2. PP Hoán vi-Chỉnh hợp-Tổ hợp-GV.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 CHUYÊN ĐỀ:ĐẠI SỐ TỔ HỢP Bài 2: HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1 . HOÁN VỊ a) Định nghĩa: Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là số tự nhiên, n 1 ). b) Số các hoán vị của một tập hợp có n phần tử là ! ( 1)( 2)...1. P n n n n n = = − − c) Ví dụ: Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập 1;2;3;4;5 ? Lời giải Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt thuộc tập 1;2;3;4;5 là một hoán vị của 5 phần tử. Vậy số các số tự nhiên là 5P = = 5! 120 số Ví dụ 2: Có 3 tem thư khác nhau và có 3 bì thư cũng khác nhau. Số cách dán 3 tem thư lên 3 bì thư (mỗi bì một tem) là Lời giải Số cách dán 3 tem thư lên 3 bì thư (mỗi bì một tem) là 3! 6 = (cách). Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào hàng ngang gồm sáu ghế. Lời giải Số cách sắp xếp là: 6P = = 6! 720. Ví dụ 4: Từ các chữ số 2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau? Lời giải Số cách lập số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là số hoán vị của 6 phần tử, do đó có 6! 720 = Ví dụ 5: Ban chấp hành chi đoàn lớp 11D có bạn An, Bình, Công. Hỏi có bao nhiêu cách phân công các bạn này vào các chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm? Lời giải Mỗi cách phân công 3 bạn An, Bình, Công vào 3 chức vụ Bí thư, phó Bí thư và Ủy viên mà không bạn nào kiêm nhiệm là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có 3! 6 = cách. Ví dụ 6: Có tất cả bao nhiêu cách xếp 6 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách? Lời giải Mỗi cách sắp xếp 6 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang trên giá sách là một hoán vị của 6 phần tử. Vậy số cách sáp xếp là 6!. Ví dụ 7: Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 tại một điểm thi có 5 sinh viên tình nguyện được phân công trục hướng dẫn thí sinh ở 5 vị trí khác nhau. Yêu cầu mỗi vị trí có đúng 1 sinh viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công vị trí trực cho 5 người đó?
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Lời giải Mỗi cách xếp 5 sinh viên vào 5 vị trí thỏa đề là một hoán vị của 5 phần tử. Suy ra số cách xếp là 5! 120 = cách. Ví dụ 8: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 hành khách: a) Vào 5 ghế xếp thành một dãy. b. Vào 5 ghế xung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này. Lời giải a. Mỗi một cách xếp là một hoán vị của 5 phần tử . Do đó số cách xếp 5 hành khách vào 5 ghế xếp thành một dãy có 5P = = 5! 120 cách. b. Vì bàn tròn không phân biệt đầu cuối nên để xếp 5 người ngồi quanh một bàn tròn ta cố định 1 người và xếp 4 người còn lại quanh người đã cố định. Vậy có 4 P = = 4! 24 cách xếp Chú ý: + Có n! cách xếp n người vào n ghế xếp thành một dãy. + Có (n−1 !) cách xếp n người vào n ghế xếp quanh một bàn tròn nếu không có sự phân biệt giữa các ghế. Ví dụ 9: Cần xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế a) Có bao nhiêu cách sắp xếp? b) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách sắp xếp? Lời giải a) Mỗi cách sắp xếp 5 bạn học sinh vào 5 chiếc ghế là một hoán vị của 5 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp 5 bạn học sinh ngồi vào 5 cái ghế là hoán vị là: 5P = = 5! 120 (cách) b) Khi bạn Nga nhất định ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì số cách sắp xếp là số cách sắp xếp 4 bạn còn lại vào 4 chiếc ghế, mỗi cách như vậy là một hoán vị của 4 bạn học sinh. Do đó, số cách sắp xếp là: 4 P = = 4! 24 (cách) Ví dụ 10: Một họa sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để họa sĩ sắp xếp các bức tranh? Lời giải
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Mỗi cách sắp xếp 10 bức tranh khác nhau thành một hàng ngang là một hoán vị của 10 phần tử. Vậy số cách sắp xếp các bức tranh là: 10! 3628800 = (cách). Ví dụ 11:Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được mấy số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau. Lời giải Gọi A a a a a a 1 2 3 4 5 với 1 a 0 và 1 2 3 4 5 a , a , a , a , a phân biệt là số cần lập. + Bước 1: chữ số 1 a 0 nên có 4 cách chọn a1. + Bước 2: xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí có 4! = 24 cách. Vậy có 4.24 = 96 số. Ví dụ 12:Có hai dãy ghế, mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam, 5 nữ vào hai dãy ghế trên, có bao nhiêu cách, nếu : a . Nam và nữ được xếp tùy ý. b. Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế. Lời giải a . Mỗi cách xếp 5 nam và 5 nữ vào hai dãy ghế một cách tùy ý là một hoán vị của 10 người. Vậy có 10! 3628800 = cách xếp. b. Chọn 1 dãy để xếp nam ngồi vào có 2 cách; xếp 5 nam vào dãy ghế đã chọn có 5! cách ; xếp 5 nữ vào dãy ghế còn lại có 5! cách. Vậy có tất cả là 2.5!.5! cách xếp thỏa điều kiện bài toán. Ví dụ 13:Cho một bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho : a . Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau ? b. Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau ? Lời giải a . Trường hợp 1: Xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí chẵn có 5! cách, sau đó xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách  có 5!.5! cách. Trường hợp 2: Xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí lẻ có 5! cách, sau đó xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có 5! cách  có 5!.5! cách. Vậy tất cả có 2.5!.5! 28800 = cách. b. Xem 5 nam là 1 tổ và 5 nữ là một tổ, ta có 2 tổ. Xếp 2 tổ ngồi vào bàn ta có 2! cách. Đổi chỗ 5 nam cho nhau có 5! cách, đổi chỗ 5 nữ cho nhau có 5! cách. Vậy ta có 2!.5!.5! 28800 = cách. Ví dụ 14:Một trường trung học phổ thông có 4 học sinh giỏi khối 12 , có 5 học sinh giỏi khối 11 , có 6 học sinh giỏi khối 10 . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 15 học sinh trên thành một hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu: a). Các học sinh được xếp bất kì. b). Các học sinh trong cùng một khối phải đứng kề nhau. Lời giải a). Mỗi cách sắp xếp 15 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 15 phần tử. Vậy số cách xếp 15 học sinh thành một hàng ngang là 15 P =15! (cách) b). Bước 1: Xếp các khối có 3! cách xếp. Bước 2: Xếp các bạn trong khối 12 có 4! cách. Bước 3: Xếp các bạn trong khối 11 có 5! cách.