Title CD- Đại số 11-Chương 3-Giới hạn. Hàm số liên tục-Bài 2-Giới hạn của hàm số-ĐỀ BÀI-Trắc nghiệm.doc ✅

Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Trắc nghiệm theo chương trình 2025 của BGD Trang 1 BÀI 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm a. Định nghĩa Cho điểm 0x thuộc khoảng K và hàm số ()yfx xác định trên K hoặc 0\Kx . Hàm số ()fx có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới 0x nếu với dãy số nx bất kì, 0\nxKx và 0nxx thì () nfxL , kí hiệu  0 lim() xx fxL hay ()fxL khi  0xx . Nhận xét:  0lim xx cc  , với c là hằng số   0 0lim xx xx . Chú ý: Hàm số ()fx có thể không xác định tại  0xx nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới 0x . b. Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số a) Cho 0 lim() xx fxL  và 0 lim() xx gxM  . Khi đó:   0 lim()() xx fxgxLM    0 lim()() xx fxgxLM    0 lim().(). xx fxgxLM   0 () lim ()xx fxL gxM (nếu M  0) b) Nếu 0fx và  0 lim() xx fxL thì L  0 và 0lim() xx fxL  c. Giới hạn một phía Định nghĩa  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng 0;ax . Số L được gọi là giới hạn bên trái cùa hàm số ()fx khi  0xx nếu với dãy số nx bất kì thỏa mãn  0naxx và  0nxx , ta có () nfxL , kí hiệu  0 lim() xx fxL .  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng 0;xb .
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Trắc nghiệm theo chương trình 2025 của BGD Trang 2 Số L được gọi là giới hạn bên phải cùa hàm số ()fx khi  0xx nếu với dãy số nx bất kì thỏa mãn  0nxxb và  0nxx , ta có () nfxL , kí hiệu  0 lim() xx fxL . Định lí:  0 lim() xx fxL khi và chỉ khi  00 lim()lim() xxxx fxfxL 2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực a. Định nghĩa  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số ()yfx có giới hạn hữu hạn là số L khi x nếu với dãy số nx bất kì,  nxa và  nx , ta có () nfxL , kí hiệu lim() x fxL hay ()fxL khi x .  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;b . Ta nói hàm số ()yfx có giới hạn hữu hạn là số L khi x nếu với dãy số nx bất kì,  nxb và  nx ta có () nfxL , kí hiệu lim() x fxL hay ()fxL khi x . Nhận xét:  Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn của hàm số khi  0xx vẫn đúng khi x hoặc x .  Với c là hằng số, ta có: lim,lim xx cccc  Với k là số nguyên dương, ta có: lim0,lim0 kk xx cc xx 3. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số ()fx có giới hạn  khi  xa nếu với dãy số nx bất kì, nxa , nxa ta có () nfx , kí hiệu lim() xa fx hay () nfx khi  xa .  Các trường hợp lim(),lim(),lim() xaxaxa fxfxfx được định nghĩa tương tự. Chú ý: Ta có hai giới hạn cơ bản sau:    1 lim xaxa    1 lim xaxa
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Trắc nghiệm theo chương trình 2025 của BGD Trang 3 3. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực  Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số ()fx có giới hạn  khi x nếu với dãy số nx bất kì, nxa , nx ta có () nfx , kí hiệu lim() x fx hay () nfx khi x .  Các trường hợp lim(),lim(),lim() xxx fxfxfx được định nghĩa tương tự. Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau:  limk x x  với k nguyên dương.  limk x x với k là nguyên dương số chẵn.  limk x x với k là nguyên dương số lẻ. c) Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số ở mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây: 4. Một số phương pháp khử dạng vô định: 0 0 ;   ;  – ; 0. a. Dạng 0 0 a) Nếu 0 () lim ()xx Px Qx với (),()PxQx là các đa thức và ()()0PxQx thì phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.    000 0 0 ()()()() limlimlim ()()()()xxxxxx xxAxPxAx QxxxBxBx và tính 0 () lim ()xx Ax Bx . b) Nếu 0 () lim ()xx Px Qx với (),()PxQx là các biểu thức chứa căn cùng bậc và ()()0PxQx thì sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. c) Nếu 0 () lim ()xx Px Qx với (),()PxQx là các biểu thức chứa căn không cùng bậc và ()()0PxQx Giả sử: 00()()()()mnmnPxuxvxvôùiuxvxa . Ta phân tích ()()mnPxuxaavx . b. Dạng   Tính  () lim ()x Px Qx với (),()PxQx là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
Đại số 11-Chương 3:Giới hạn. Hàm số liên tục- Trắc nghiệm theo chương trình 2025 của BGD Trang 4  Nếu 1 01 001 01 ...() ,0,0. ()... mm m nn n axaxaPx ab Qxbxbxb      với (),()PxQx là các đa thức thì ta chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. Kết quả: 0 0 0 () lim ()x khimn aPx khimn Qxb khimn          ; trong đó (Dấu +  hoặc -  tuỳ thuộc vào dấu 0 0 a b và tính chẵn lẻ của m và n khi x )  Nếu (),()PxQx là các căn thức ta chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. c. Dạng  : Giới hạn này thường có chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. d. Dạng 0. : Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. Chú ý - Nếu biểu thức có chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đư về cùng một phân thức - Thông thường các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định ;0. hoặc chuyển về dạng vô định 0 ; 0   . 5. Sử dụng CASIO để tìm giới hạn (Các em không nên sử dụng nhiều Casio nên giải bằng tay để rèn kỹ năng tính toán của mình) Phương pháp: Nhập hàm số vào máy rồi sử dụng phím CALC tính giá trị của hàm số tại một giá trị của x gần bằng x 0 (sai số khoảng 6101010 )  Nếu x thì nhập giá trị của x là 910  Nếu x thì nhập giá trị của x là 910  Nếu 0xx thì nhập giá trị x bằng 9 010x hoặc 9 010x .  Nếu 0xx thì nhập giá trị 0xx , cụ thể nhập giá trị x bằng 9 010x .  Nếu 0xx thì nhập giá trị 0xx , cụ thể nhập giá trị x bằng 9 010x . Lưu ý: Đối với giới hạn lượng giác cần cài đặt đơn vị đo “Radian”