Title Chương 4_Bài 11_ _Đề bài.pdf ✅

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 11. NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. NGUYÊN HÀM CỦA 1 HÀM SỐ Cho hàm số f x( ) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F x( ) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x f x ¢( ) ( ) = với mọi x thuộc K . Chú ý. Trường hợp K a b =  ;  thì các đẳng thức F a f a ¢( ) ( ) = và F b f b ¢( ) ( ) = được hiểu là đạo hàm bên phải tại điểm x a = và đạo hàm bên trái tại điểm x b = của hàm số F x( ), tức là ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) và lim ( ) x a x b F x F a F x F b f a f b x a x b ® ® + - - - = = - - Ví dụ 1. Cho hàm số 2 f x x x ( ) 2 = - . Trong các hàm số cho dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên ¡ ? a) 3 2 ( ) 3 x F x x = - ; b) 3 2 ( ) 3 x G x x = + . Định nghĩa Giả sử hàm số F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K . Khi đó: a) Với mỗi hằng số C , hàm số F x C ( ) + cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên K ; b) Nếu hàm số G x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G x F x C ( ) ( ) = + với mọi x K Î . Như vậy, nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của f x( ) trên K đều có dạng F x C ( ) + (C là hằng số). Ta gọi F x C C ( ) ( ) + Ρ là họ các nguyên hàm của f x( ) trên K , kí hiệu bởi f x x ( )d ò . Chú ý: a) Để tìm họ các nguyên hàm (gọi tắt là tìm nguyên hàm) của hàm số f x( ) trên K , ta chỉ cần tim một nguyên hàm F x( ) của f x( ) trên K và khi đó f x x F x C C ( )d ( ) , = + ò là hằng số. b) Người ta chứng minh được rằng, nếu hàm số f x( ) liên tục trên khoảng K thì f x( ) có nguyên hàm trên khoảng đó. c) Biểu thức f x x ( )d gọi là vi phân của nguyên hàm F x( ), kí hiệu là d ( ) F x . Vậy d ( ) ( )d ( )d F x F x x f x x = = ¢ . d) Khi tìm nguyên hàm của một hàm số mà không chỉ rõ tập K , ta hiểu là tìm nguyên hàm của hàm số đó trên tập xác định
Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số 2 f x x ( ) = trên ¡ . Từ đó hãy tìm 2 x x d ò . 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của tích một hàm số với một hằng số khác 0 k f x x k f x x k ( )d ( )d ( 0). = 1 ò ò Ví dụ 3. Sử dụng kết quả của Ví dụ 2, hãy tìm: a) 2 3 d x x ò b) 3 2 d 2 - x x ò Nguyên hàm của một tổng é ù f x g x x f x x g x x   + = +   d d d     ò ò ò ë û d d d é ù f x g x x f x x g x x   - = -       ò ò ò ë û Ví dụ 4. Sử dụng kết quả của Luyện tập 3 và tính chất cơ bản của nguyên hàm, hãy tìm: a)   2 x x dx + ò ; b)   3 2 4 3 x x dx - ò . Ví dụ 5. Giải bài toán : Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v t t ( ) 5 3 ( m / s) = + , với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét? 3. NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa Hàm số luỹ thừa y x ( ) a = Î a ¡ có đạo hàm với mọi x > 0 và   1 x x . a a a ¢ - = 1 ( 1) 1 x x dx C a a a a + = + 1 - + ò . 1 d ln | | x x C x = + ò . Ví dụ 6. Tìm: a) x x x d ( 0) > ò ; b) 3 1 dx x ò ; c) 2 3 2x dx x æ ö + ç ÷ è ø ò .
b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác cos d sin ; x x x C = + ò sin d cos x x x C = - + ò 2 1 d tan ; cos x x C x = + ò 2 1 d cot sin x x C x = - + ò Ví dụ 7. Tìm: a) (cos sin ) x x dx + ò b) 2 1 2cos cos x dx x æ ö ç ÷ - è ø ò c) Nguyên hàm của hàm số mũ x x e dx e C = + ò (0 1) ln x x a a dx C a a = + < 1 ò Ví dụ 8. Tìm: a) 2 xdx ò ; b) 1 d 3 x x ò ; c) 2 5  x x e dx - ò . Ta tổng kết lại bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp như sau. 0dx C= ò 1 dx x C = + ò   1 d 1 1 x x x C a a a a + = + 1 - + ò 1 d ln x x C x = + ò d x x e x e C = + ò d (0 1) ln x x a a x C a a = + < 1 ò cos d sin x x x C = + ò sin d cos x x x C = - + ò 2 1 d cot sin x x C x = - + ò 2 1 d tan cos x x C x = + ò Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp và tính chất cơ bản của nguyên hàm, ta có thể tìm được nguyên hàm của nhiều hàm số khác. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 4.1. Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F x( ) có là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoảng tương ứng không? Vì sao? a) F x x x ( ) ln = và f x x ( ) 1 ln = + trên khoảng (0; ) +¥ ; b) sin ( ) x F x e = và cos ( ) x f x e = trên ¡ . 4.2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) 2 f x x x ( ) 3 2 1; = + - b) 3 f x x x ( ) = - c) 2 f x x ( ) (2 1) = + ; d) 2 1 f x x ( ) 2 x æ ö = - ç ÷ è ø . 4.3. Tìm: a) 3 1 3 d x x x æ ö + ç ÷ è ø ò b)   2 x x dx x 7 3 ( 0) - > ò ; c) 2 2 (2 1) x dx x + ò ; d) 2 3 2 x dx x æ ö ç ÷ + è ø ò . 4.4. Tìm: a) 2 3 2cos sin x dx x æ ö ç ÷ - è ø ò ; b) 2 4sin d 2 x x ò ; c) 2 sin cos 2 2 x x dx æ ö ç ÷ - è ø ò d)   2 x x x + tan d ò 4.5. Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng (0; ) +¥ . Biết rằng, 2 1 f x x ( ) 2 x ¢ = + với mọi xÎ +¥ (0; ) và f (1) 1 = . Tính giá trị f (4) . 4.6. Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị là ( ) C . Xét điểm M x f x ( ; ( )) thay đổi trên ( ) C . Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại M là 2 ( 1) M k x = - và điểm M trùng với gốc toạ độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f x( ) . 4.7. Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi v t t ( ) 160 9,8 ( m / s) = - . Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất): a) Sau t = 5 giây; b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). C. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Nguyên Hàm Đa Thức 1. Phương pháp Dùng các phép biến đổi, các phương pháp tính nguyên hàm đưa nguyên hàm về nguyên hàm hàm đa thức: 1 1 d 1 n n x x x C n + = + + ò ;     1 1 1 d . 1 n n ax b x ax b C n a + + = + + + ò 2. Ví dụ Ví dụ 1. Tính 4 5x dx ò Ví dụ 2. Tìm họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x x   = + 2 4