Title 041_Tuyển sinh 10 Toán _Chuyên_mới_tỉnh_Nam Định_25-26 (1).pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: TOÁN (Chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút. (Đề thi gồm: 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm) a) Cho x y, 1  thỏa mãn 1 1 5 x y xy 1 1 4 + = + + + . Tính giá trị của biểu thức 3 3 A x y xy = + +9 . b) Xét đa thức ( ) 2 P x x ax b = + + với ab, là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(1 2 2024 + =) thì P(1 2 2024 − =) . Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình ( )( ) 2 2 x x x x = − + − − 2 9 2 8 2 . b) Giải hệ phương trình ( ) 2 2 3 2 2 ( 1) 0 4 9 7 3 10 5 0 x x y y x x x y y  − + − =   − + + − + = Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và AB AC  . Ba đường cao của tam giác ABC là AD BE CF , , đồng quy tại điểm H . Gọi AQ là đường kính của đường tròn (O) , đường thẳng HQ cắt cạnh BC tại điểm M . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) tại điểm N và cắt đường thẳng AM tại điểm K N K ( , khác A) , đường thẳng AN cắt đường thẳng BC tại điểm P . Chứng minh rằng: a) HQ vuông góc với AN và FDH HDE FDK NDE = = , . b) Ba điểm P E F , , thẳng hàng. c) PE.PF 2  PM . Câu 4: (1,5 điểm) a) Chứng minh với mọi số nguyên dương n , số 5 n n − + 6 33 không là số chính phương. b) Cho các số nguyên dương ab, thỏa mãn điều kiện a b + +1 là ước nguyên tố của ( ) 2 2 4 3 a ab b + + − . Chứng minh rằng a b + −1 là ước của ( ) 2 2 4 3 a ab b + + − . Câu 5: (1,5 điểm) a) Xét x y z , , là các số thực dương thỏa mãn xy yz zx xyz + +  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) 2 2 2 Q xy yz zx x y z = + + − + + 18 . b) Cho bảng hình chữ nhật gồm 2 dòng và n cột, được chia đều thành 2n ô vuông đơn vị. Ban đầu, trong mỗi ô vuông đơn vị người ta đặt đúng một viên bi có kích thước rất nhỏ. Ta gọi mỗi biến đổi (T) là việc thực hiện các thao tác sau: Chọn ra hai ô vuông đơn vị tùy ý có chứa bi, chuyển từ mỗi ô vuông đó đi một viên bi sang ô vuông đơn vị liền kề (hai ô vuông đơn vị gọi là liền kề nếu chúng có chung cạnh). Tìm tất cả các số nguyên dương n để sau hữu hạn lần chỉ thực hiện biến đổi (T) , ta có thể đưa hết tất cả các viên bi có trên bảng lúc đầu về nằm trong cùng một ô vuông đơn vị của bảng. ------Hết------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI ĐÈ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học: 2024 - 2025 Môn thi: TOÁN (Chuyên) (Hướng dẫn chấm gồm: 06 trang.) Câu 1: (2,0 điểm) a) Cho x y, 1  thỏa mãn 1 1 5 x y xy 1 1 4 + = + + + . Tính giá trị của biểu thức 3 3 A x y xy = + +9 . b) Xét đa thức ( ) 2 P x x ax b = + + với ab, là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(1 2 2024 + =) thì P(1 2 2024 − =) . Y Nội dung Điểm 1a) 1,0đ + Ta có ( )( ) ( )( ) 1 1 5 4 2 5 1 1 1 1 4 xy x y x y x y xy + =  + + + = + + + + +  + + = + +  + − − = xy x y xy x y x y xy ( ) 3 3 3 1 0 ( )( ) 0,25 + Với x y, 1  thì xy − 1 0 , do đó (1 3 )  + = x y . 0,25 + Vậy ( ) 3 3 3 A x y xy x y xy x y xy = + + = + − + + 9 ( ) 3 9 0,25 3 = −  + = 3 3 3 9 27 xy xy 0,25 1b) 1,0 + Ta có ( ) ( ) 2 P a b 1 2 2024 (1 2) 1 2 2024 + =  + + + + = 0,25  + = − − (a a b 2 2 2021 ) 0,25 + Do a a b + − − 2,2021 là các số nguyên trong khi 2 là số vô tỉ nên phải xảy ra 2 0 2021 0 a a b  + =   − − = hay 2 2023. a b  = −   = 0,25 + Vậy ( ) ( ) 2 P 1 2 (1 2) 2 1 2 2023 − = − − − + = − − + + = 3 2 2 2 2 2 2023 2024 , có điều phải chứng minh. 0,25 Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình ( )( ) 2 2 x x x x = − + − − 2 9 2 8 2 .
b) Giải hệ phương trình ( ) 2 2 3 2 2 ( 1) 0 4 9 7 3 10 5 0 x x y y x x x y y  − + − =   − + + − + = Y Nội dung Điểm + Điều kiện xác định 2 x x + −  2 8 0. 2) a 1,0d Phương trình được viết lại là ( ) ( ) 2 2 x x x x x x + − − − + − + − = 2 8 2 9 2 8 2 10 0 . Đặt 2 t x x = + − 2 8 thì được ( ) 2 1 2 9 2 10 0 2 10 t t x t x t x  = − − + − =    = − 0,25 + Với t =1 thì 2 2 x x x x x + − =  + − =  = −  2 8 1 2 9 0 1 10 . 0,25 + Với t x = − 2 10 thì 2 2 2 2 10 0 2 8 2 10 2 8 (2 10) x x x x x x x  −  + − = −    + − = − 2 5 7 13 14 36 0 x x x x     = +   − + = . 0,25 + Vậy phương trình cho có tập nghiệm là S = + −  7 13; 1 10 . 0,25 Cách khác: Chuyển vế, bình phương để khử căn ta được PT hệ quả ( ) ( ) ( )( )   2 2 4 3 2 2 2 2 2 2 (2 9) 2 8 4 18 12 198 324 0 2 9 14 36 0 1 10;7 13 x x x x x x x x x x x x x x − + − = + −  − − + − =  + − + − =   −   Thử lại nghiệm và kết luận (0, 25) (0, 25) (0, 25) (0, 25) 2b) 1,0 đ Xét hệ phương trình ( ) 2 2 3 2 2 ( 1) 0 4 9 7 3 10 5 0 x x y y x x x y y  − + − =   − + + − + = + Ta có ( ) ( ) 2 2 3 2 1 1 2 1 0 1 y x y x y x y x x  = +  − + + + =    = − + 0,25 + Nếu 2 y x x = − +1 , thay vào (2) thu được ( ) ( ) 2 3 2 2 2 4 9 7 3 1 10 1 5 0 x x x x x x x − + + − + − − + + = 4 3 2  − − + − = 3 2 10 11 2 0 x x x x ( )( )( ) 2 5 13 2 1 3 5 1 0 2;1; 6 x x x x x       + − − + =   −      0,25