Title RESOLUÇÂO - P23 - MAT - FIS - QUIM - 3ª SERIE - TURMA ITA-IME - 3ª ETAPA.pdf ✅

OSG 6514/22 2 QUESTÕES DE 1 A 15 MATEMÁTICA 1a QUESTÃO Considere uma circunferência de raio R. Duas novas circunferências são construídas passando pelo centro da circunferência original, tangentes entre si e à circunferência original. Repetimos esta construção para cada uma destas novas circunferências, gerando várias circunferências cujos raios vão decrescendo a cada passo. A soma das áreas de todas as circunferências assim construídas é (A) 2 3 R . 2 π (B) 2πR2. (C) 2 5 R . 2 π (D) 4πR2. (E) 2 7 R . 2 π RESOLUÇÃO: Seja R1 = R e (Rn) a sequência dos raios. Note que Rn + 1 = Rn . 2 Além disso, o número de circunferências novas dobra a cada etapa. Isso nos dá a ideia de que, no passo n, há 2n circunferências novas. Disto, temos: 2 2 2 n 1 2 n 1 R R S R 2 ... 2 ... 2 R 2 2 − −    =π + π + + π + = π         Resposta correta: B 2a QUESTÃO Duas funções distintas, dentre 1x, 2x, 3x, 4x, 5x e 6x, são escolhidas de forma uniforme e somadas, gerando a função ƒ. A probabilidade de que a equação ƒ(x) = 2 ⋅ 4x tenha solução única é (A) 1 . 10 (B) 2 . 10 (C) 3 . 10 (D) 4 . 10 (E) 5 . 10 RESOLUÇÃO: Veja que x = 0 é sempre solução. Tome x x x a b g(x) 1, 2 4 + = − ⋅ em que ax e bx são as funções escolhidas. Queremos que g(x) = 0 tenha solução única. [Casos Totais] Existem C6,2 = 15 possíveis pares de funções. Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá
3 OSG 6514/22 [Casos Favoráveis] Note que se a, b ∈ {1, 2, 3}, então g é estritamente decrescente. Se a, b ∈ {4, 5, 6}, então g é estritamente crescente, dando-nos já 2 ⋅ C3,2 = 6 funções estritamente monótonas g, que possui solução única. Para as demais funções, assuma a < 4 ≤ b. Veja que x x 1a 1b g(x) 1. 24 24   =⋅ +⋅ −     Em particular, a b g(1) 1. 8 + = − Se a + b ≤ 8, então g possui outra raiz em [1, +∞), não satisfazendo a condição. Para a + b > 8, temos apenas (a, b) = (3, 6). Nesse caso, 14 4 g( 1) 1 0. 23 6   − = + −=     Logo, existem apenas 6 funções cuja solução é única. [Probabilidade] Concluímos que: 624 p . 15 5 10 = = = Resposta correta: D 3a QUESTÃO Uma pirâmide quadrangular tem todas as suas arestas de mesmo comprimento a. O raio da esfera que passa por todos os vértices da pirâmide é (A) a 2 . 8 (B) a 2 . 4 (C) a 3 . 4 (D) a 2 . 2 (E) a 3 . 2 RESOLUÇÃO: Basta lembrar que, se a pirâmide é quadrangular com todas as arestas de mesmo comprimento, é metade de um octaedro regular. Disto, o centro da esfera é o centro do quadrado. Segue direto que o raio é a 2 . 2 Resposta correta: D 4a QUESTÃO Sejam a, b e c as soluções distintas da equação x3 – 2x2 + 3x – 4 = 0. Qual o valor numérico de 222 222 222 111 . a(b c a ) b(c a b ) c(a b c ) + + +− +− +− (A) 1. 3 (B) 1. 4 (C) 1. 8 (D) 1 . 10 (E) 1 . 12 Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá Ari de Sá