Title Chuyên đề 9_Giới hạn hàm số_Đề bài.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ 9_GIỚI HẠN DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Các định nghĩa a) Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Cho khoảng K chứa điểm 0x và hàm số ()fx xác định trên K hoặc trên 0\Kx . Hàm số ()fx có giới hạn là số L khi x dần tới 0x nếu với dãy số nx bất kì, 0\nxKx và 0nxx thì nfxL , kí hiệu 0lim() xx fxL  . b) Giới hạn một phía - Cho hàm số ()yfx xác định trên khoàng 0;ax . Hàm số ()fx có giới hạn bên trái là số L khi x dần tới 0x nếu với dãy số nx bất kì, 0naxx và 0nxx thì nfxL , kí hiệu 0lim() xx fxL    . - Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng 0;xb . Hàm số ()fx có giới hạn bên phải là số L khi x dần tới 0x nếu với dãy số nx bất kì, 0nxxb và 0nxx thì nfxL , kí hiệu 0lim() xx fxL    . Chú ý: 0lim() xx fxL  khi và chỉ khi 00lim()lim() xxxx fxfxL    . c) Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực - Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng (;)a . Hàm số ()fx có giới hạn là số L khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số nx bất kì, nxa và nx thì nfxL , kí hiệu lim() x fxL  . - Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng (;)a . Hàm số ()fx có giới hạn là số L khi x dần tới âm vô cực nếu với dãy số nx bất kì, nxa và nx thì nfxL , kí hiệu lim() x fxL  . d) Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm - Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng (;)a . Hàm số ()fx có giới hạn là  khi xa nếu với dãy số nx bất kì, nxa và nxa thì nfx , kí hiệu lim() xa fx    . - Các trường hợp lim();lim();lim() xaxaxa fxfxfx    được định nghĩa tương tự. e) Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực
- Cho hàm số ()yfx xác định trên khoảng (;)a . Hàm số ()fx có giới hạn là  khi x dần tới đương vô cực nếu với dãy số nx bất kì, nxa và nx thì nfx , kí hiệu lim() x fx  . - Các trường hợp lim();lim();lim() xxx fxfxfx  được định nghĩa tương tự. 2. Một số kết quả giới hạn cơ bản  00lim xx xx  ;  0lim xx cc  , với c là hằng số;  Giả sử  0 lim xx fxL   và  0 lim, xx gxMLM R . Khi đó:    00 00 lim;lim; lim;lim 0; xxxx xxxx fxgxLMfxgxLM fxL fxgxLMM gxM        Nếu 0fx và  0 lim xx fxL  thì 0L và  0 lim xx fxL  ;  Với ,ck là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có: lim;lim;lim0;lim0; kk xxxx cc cccc xx  Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi 0xx vẫn còn đúng khi x hoặc x ;  11 lim;lim xaxaxaxa     ;  Với k là số nguyên dương, ta có: lim;limkk xx xx   ( k chẵn) ;limk x x   ( k lẻ) B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, tính trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được 500 4 t Ntt t  bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính lim t Nt  và cho biết ý nghĩa của kết quả. Câu 2: Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: 50000105Cxx . a) Tính chi phí trung bình _Cx để sản xuất một sản phẩm. b) Tính _lim x Cx  và cho biết ý nghĩa của kết quả. Câu 3: Trong hồ có chứa 6000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30gam/ lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.
a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là 30 400 t Ct t  (gam/lít). b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu t . Câu 4: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là 0f không đổi. Goi d vả d lần lượt lả khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức: 111 ddf  hay df d df  Xét hàm số dfgd df  . Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa. a) lim df gd   ; b) lim d gd  . Câu 5: Một cái hồ đang chứa 3600m nước mặn với nồng độ muối 320/kgm . Người ta ngọt hóa nước trong hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 310/m phút. a) Viết biểu thức Ct biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm. b) Tìm giới hạn lim t Ct  và giải thích ý nghĩa. Câu 6: Trong hồ có chứa 12000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 40gam/ lít vào hồ với tốc độ 20 lít/phút. a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là 40(gam/ 600 t Ct t  lít ) . b) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu bơm nước vào hồ một thời gian dài (xem như t ).
Câu 7: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là 0f không đổi. Gọi d và d lần lượt lả khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính. Ta có công thức: 111 ddf  hay df d df  Xét hàm số dfgd df  . Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa. a) lim df gd   . b) lim d gd  . Câu 8: Một xưởng sản xuất nón bảo hiểm, tính trung bình mỗi nhân viên có thể lắp ráp được số nón bảo hiểm được tính theo biểu thức 600, 10 0 t Ntt t  với t ngày. Tính lim t Nt  và cho biết ý nghĩa của kết quả. Câu 9: Một cơ sở sản xuất bếp gas, tính chi phí sản xuất x (sản phẩm) xác định bởi hàm số: 200120Cxx (ngàn đồng). a) Tính chi phí trung bình Cx để sản xuất một sản phẩm. b) Tính lim x Cx  và cho biết ý nghĩa của kết quả. Câu 10: Cho điểm 2,1,01Mttt nằm trên đường tròn đơn vị 22():1Cxy , điểm (1;0)A là một giao điểm của ()C với trục hoành. Gợi H là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành, K là giao điểm của tiếp tuyến của ()C tại M với trục hoành. Khi điểm M dần đến điểm A thì tỉ số HK HA dần đến giá trị nào?