Title °TD TOPOLOGIE SMA5 FSSM MARRAKECH 20 21.pdf ✅

Universit ́e Cadi Ayyad D ́epartement de Math ́ematiques Facult ́e des Sciences-Semlalia. Marrakech. Fili`ere SMA, Ann ́ee : 2020-2021 SMA–S5: TOPOLOGIE (I) T.D. No. 1. Exercice 1. D ́eterminer toutes les topologies qu’on peut d ́efinir sur un ensemble X := {a, b} ayant deux ́el ́ements. Exercice 2. Soit X un ensemble non vide. Soit A, B ⊂ X deux parties propres de X (i.e., distinctes du vide et de X). On pose T := {∅, A, B, X}. Trouver les conditions n ́ecessaires et suffisantes sur A et B pour que T soit une topologie sur X. Exercice 3. Soit X un ensemble non vide. (1) Soit (Ti∈I ) une famille de topologies sur X. On pose T := ∩i∈ITi . Montrer que T est une topologie sur X. (2) Soit A une famille non vide de parties de X. Montrer qu’il existe une plus petite topologie (on dit aussi la moins fine) sur X qui continet la famille A on l’appelle aussi la topologie engendr ́ee par A. Exercice 4. On prend X := R. Soit T := {] − t, t[: t ∈ [0, +∞]}. (1) Montrer que T est une topologie sur R. (2) On prend A := {0}∪]1, 2[. Trouver l’adh ́erence de A, son int ́erieur et sa fronti`ere. (3) Soit B := {a} o`u a ∈ R. Trouver l’adh ́erence de A, son int ́erieur et sa fronti`ere. Exercice 5. On rappelle qu’un ensemble E est dit fini si E est vide ou si E est non vide et il existe un entier entier n ≥ 1 tel que E est en bijection avec l’ensemble {1, 2, . . . , n}. On peut alors montrer que n est unique et qu’il ne depend que de E. Cet entier n se note Card (E) et s’appelle le cardinal de E ou encore, le nombre d’ ́el ́ements de E. Par convention on dit que Card (∅) = 0. E est dit d ́enombrable ssi E infini et E est en bijection avec N (on dit aussi que E est ́equipotent `a N). E est dit au plus d ́enombrable ssi E est fini ou d ́enombrable. On prend E := R et on pose T := {U ⊆ R : U c := R r U est au plus d ́enombrable } ∪ {∅}. (a) Montrer que T est une topologie sur R. (b) Montrer que la topologie T n’est pas s ́epar ́ee. Exercice 6. Soit X un ensemble non vide. Soient (E, d) un espace m ́etrique et f : X → E une application. Pour tout (x, y) 2 ∈ X × X, on pose δf (x, y) = d(f(x), f(y)). (1) (a) Donner une condition n ́ecessaire et suffisante sur f pour que l’application δf soit une distance sur X. (b) En d ́eduire que δ(x, y) = log( y x ) est une distance sur X :=]0, ∞[. (2) Application: On prend ici X = E = R et soit f : R → R une application bijective et croissante. Soit a ∈ R et r un r ́eel > 0. Determiner la boule ouverte B(a, r) dans l’espace m ́etrique R muni de la distance δf d ́efinie sur R 2 par δf (x, y) := |f(x) − f(y)|. Exercice 7. Soit (E, d) un espace m ́etrique. Pour tout (x, y) ∈ E 2 , posons: d1(x, y) = d(xy) 1+d(x,y) .
2 (a) Montrer que d1 est une distance sur E. (b) Les distances d et d1 sont est-elles topologiquement ́equivalentes ? (justifier). (c) Les distances d et d1 sont est-elles ́equivalentes ? (justifier par une preuve ou par un contre-exemple). Exercice 8. On munit N ∗ de la distance d d ́efinie par d(n, m) := 1 n − 1 m . (a) Trouver les parties ouvertes de (N ∗ , d). (b) La distance d est-elle topologiquement ́equivalente `a la distance discr`ete ? (c) La distance d est-elle ́equivalente `a la distance induite par la valeur absolue sur R ? Exercice 9. Soit (E, d) un espace m ́etrique. Soit x ∈ E et Soit A une partie non vide de E. On appelle distance de x `a A le nombre d(x, A) := inf{d(x, a) : a ∈ A}. a) Montrer que d(x, A) = d(x, A). b) Montrer que: d(x, A) = 0 ⇐⇒ x ∈ A. (A est l’adh ́erence de A). Exercice 10. Soit E := {f ∈ C 1 ([0, 1], R) ; f(0) = 0}. On pose ||f|| = sup 0≤x≤1 |f(x) + f 0 (x)|, et N (f) = sup 0≤x≤1 |f(x)| + sup 0≤x≤1 |f 0 (x)|. (a) Montrer que ||.|| et N sont deux normes sur E. (b) Etudier l’ ́equivalence de ces deux normes sur E. Exercice 11. Soit E = C ([0, 1], R). Pour f ∈ E, on pose kfk1 := Z 1 0 |f(t)| dt, kfk2 := (Z 1 0 |f(t)| 2 dt) 1 2 , kfk∞ := sup t∈[0,1] |f(t)| dt. On consid`ere la suite (fn) d ́efinie par fn(t) = ( 1 − nt si t ∈ [0, 1 n ]; 0 si t ∈ [ 1 n , 1]. Calculer kfnk1 , kfnk2 , kfnk∞ et en d ́eduire que deux quelconques de ces trois normes ne sont pas ́equivalentes. Exercice 12. Soit (E, d) un espace m ́etrique. On rappelle qu’une partie B de E est dite born ́ee si B est contenue dans une boule ferm ́ee de E. On rappelle que le diam`etre d’une partie B de E est le nombre (dans [0, +∞]) donn ́e par : diam (B) = sup{d(a, b) : (a, b) ∈ B × B}. Soit A une partie (non vide) de E. (i) Montrer que A est born ́ee ⇐⇒ A est born ́ee. (ii) Montrer que A est born ́ee ⇐⇒ diam (A) < ∞. (iii) Montrer que diam (A) = diam (A). (iv) Soit x ∈ E et r r ́eel > 0. Calculer diam (B(x, r)) dans le cas o`u E est un evn. Exercice 13. Soit (E, k.k) un espace vectoriel norm ́e sur R ou C. 1. Soit a ∈ E et r > 0. Montrer que B(a, r) = a + rB(0, 1). 2. En d ́eduire que pour tout couple (a, b) de points de E et tout couple (r, ρ) de r ́eels stricte- ment positifs, on a B(a, r) + B(b, ρ) = B(a + b, r + ρ). 3. Pour tout couple (a, b) de points de E et tout couple (r, ρ) de r ́eels strictement positifs, montrer que B(a, r) = B(b, ρ) ⇐⇒ a = b et r = ρ. 4. Applications : (a) Soit F un sous-espace vectoriel de E distinct de E. Montrer que F est d’int ́erieur vide. (b) Soit C un convexe de E. Montrer que l’int ́erieur de C est convexe. ———————-
Td1_sol_1+2+3+4