Title Chương 9_Bài 31_ _Lời giải_Toán 11_KNTT.pdf ✅

CHƯƠNG IX. ĐẠO HÀM BÀI 31. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng HĐ1. Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số cùa thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động). a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t. b) Giới hạn ( ) ( ) 0 0 0 lim t t s t s t → t t − − cho ta biết điều gì? Lời giải a) Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: ( 0 ) 0 ( ) av s t s t v t t − = − b) Giới hạn ( ) ( ) 0 0 0 lim t t s t s t → t t − − cho ta biết ( ) 0 0 0 ( ) lim t t s t s t v t t − − = − b) Cường độ tức thời HĐ2. Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t , có dạng Q Q t = ( ). a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ 0 t đến t . b) Giới hạn ( ) 0 0 0 ( ) lim t t Q t Q t → t t − − cho ta biết điều gì? Lời giải a) Cường độ trung bình ( 0 ) 0 Q t Q t ( ) I t t − = − b) Giới hạn này cho biết cường độ dòng điện tại thời điểm 0 t . Nhận xét. Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học, Sinh học,... đưa đến việc tìm giới hạn dạng ( ) 0 0 0 ( ) lim , x x f x f x → x x − − ở đó y f x = ( ) là một hàm số đã cho. Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm. 2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng ( , ) a b và điểm 0 x a b ( ; ). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( ) 0 0 0 ( ) lim x x f x f x → x x − − thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y f x = ( )
tại điểm 0 x , kí hiệu bởi f x ( 0 ) (hoặc y x ( 0 )) , tức là ( ) ( 0 ) 0 0 ( ) lim . x f x f x f x → x x −  = − Chú ý. Để tính đạo hàm của hàm số y f x = ( ) tại điểm 0 x a b ( ; ) , ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tính f x f x ( ) − ( 0 ). 2. Lập và rút gọn tỉ số ( 0 ) 0 f x f x ( ) x x − − với 0 x a b x x   ( ; ), . 3. Tìm giới hạn ( ) 0 0 0 ( ) lim x x f x f x → x x − − . Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số 2 y f x x x = = + ( ) 2 tại điểm 0 x =1. Lời giải Ta có: 2 2 f x f x x x x x x ( ) (1) 2 3 1 2 2 ( 1)( 3) − = + − = − + − = − + . Với ( ) (1) ( 1)( 3) 1, 3 1 1 f x f x x x x x x − − +  = = + − − . Tính giới hạn: 1 1 ( ) (1) lim lim( 3) 4 x x 1 f x f x → → x − = + = − . Vậy f (1) 4 = . Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau: ( ) 2 1 1 1 1 ( ) (1) ( 1)( 3) 2 3 (1) lim lim lim lim( 3) 4. x x x x 1 1 1 x x f x f x x f x → → → → x x x − − + + −  = = = = + = − − − Chú ý. Đặt 0 h x x = − , khi đó đạo hàm của hàm số đă cho tại điểm 0 x =1 có thể tính như sau: ( ) 2 2 0 0 (1 ) (1) (1 ) 2(1 ) 1 2 (1) lim lim h h f h f h h f → → h h + −   + + + − +    = = ( ) 2 0 0 4 3 3 lim lim( 4) 4 h h h h h → → h + + − = = + = . Chú ý ( ) ( 0 0 ) ( ) 0 0 lim . h f x h f x f x → h + −  = Luyện tập 1. Tính đạo hàm của hàm số 2 y x x = − + + 2 1 tại điểm 0 x = −1. Lời giải Ta có 2 y x x y x = − + +  = − + 2 1 ( 2 2)  Để tính đạo hàm tại điểm 0 x = −1 , ta thay x =−1 vào y ' : y ( 1) ( 2( 1) 2) 4 − = − − + = Vậy đạo hàm của hàm số 2 y x x = − + + 2 1 tại điểm 0 x = −1 bằng 4 . 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG HĐ3. Tính đạo hàm f x ( 0 ) tại điểm 0 x bất kì trong các trường hợp sau: a) f x c ( ) = (c là hằng số); b) f x x ( ) = . Lời giải a) Với hàm số f x c ( ) = , với c là hằng số bất kỳ, ta có f x ( ) 0 = vì đạo hàm của một hằng số bất kỳ luôn bằng 0 . Do đó, f x ( 0 ) = 0 với mọi 0 x . b) Với hàm số f x x ( ) = , ta có f x ( ) 1 = với mọi x . Do đó, f x ( 0 ) =1 với mọi 0 x .

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà PQ k có giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP? Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm ( x y 1 1 ; ) và ( x y 2 2 ; ) , với 1 2 x x  , là 2 1 2 1 y y k x x − = − Lời giải a) Hệ số góc của đường thẳng PQ ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) lim x x f x f x f x → x x −  = − b) Khi 0 x x → thì vị trí của điểm Q x f x ( ; ( )) trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm P x f x ( 0 0 , ( ) và khi 0 x x = hai điểm này sẽ trùng nhau. c) Nếu điểm Q di chuyển trên ( ) C tới điểm P mà KPQ có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến đến gần vị trí của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P x f x ( 0 0 , ( )) . Nói cách khác, khi điểm Q x f x ( , ( )) tiến đến điểm P x f x ( 0 0 , ( )) , thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến đến vị trí của tiếp tuyến tại điểm P x f x ( 0 0 , ( )) . Vì vậy, giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P x f x ( 0 0 , ( )) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x = ( ) tại điểm P x f x ( 0 0 ; ( )) là đường thẳng đi qua p với hệ số góc ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x k → x x − = − nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là k f x = '( 0 ) . Điểm P gọi là tiếp điểm. Nhận xét. Hệ số góc tiếp tuyến của đò thị hàm số y f x = ( ) tại điểm P x f x ( 0 0 ; ( )) là đạo hàm f x ( ) . Ví dụ 4. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol 2 y x = tại điểm có hoành độ 0 x = −1. Lời giải Ta có ( ) 2 x x2  = nên y ' 1 2. 1 2 (− = − = − ) ( ) . Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol 2 y x = tại điểm có hoành độ 0 x = −1 là k =−2 . Luyện tập 3. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol 2 y x = tại điểm có hoành độ 0 1 2 x = . Lời giải Đặt 0 1 2 x x = = ( 0 ) 1 1 2 2 2 y x y x   = =  = b) Phương trình tiếp tuyến