Title Chuyên đề 4. HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC.doc ✅

Chuyên đề 4: HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC  VÀ 2 045 A. Đặt vấn đề Trong chuyên đề này ta sẽ thiết lập các hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của góc  và góc 2 . Nhờ đó mà ta tính được các tỉ số lượng giác của góc  khi biết tỉ số lượng giác của góc 2 và ngược lại B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho 45 , chứng minh rằng sin22sincos Áp dụng: Cho sin0,6 tính sin2 Giải Xét ABC vuông tại A,  45C Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM. Khi đó 1 2MAMBMCBC Ta có AMC cân tại M, do đó  22AMBC ABC vuông tại A, ta có sinAB BC ; cosAC BC Xét AHM vuông tại H, ta có sin2AH AM 1 Ta có 22 2..2.22 2sin.cos2. 2 ABACABACAHBCAHAHAH BCBCBCAMAMBCBC 2 Từ 1 và 2 suy ra sin22sincos Áp dụng: Nếu sin0,6 thì 222cos1sin10,60,64 Do đó cos0,640,8 . Vậy sin22sin.cos2.0,6.0,80,96 Nhận xét: Việc xét ABC vuông tại A là để có sin và cos . Việc vẽ đường trung tuyến AM là để xuất hiện 2 . Vẽ thêm đường cao AH để có thể tính sin2 Ví dụ 2. Cho 45 . Chứng minh các hệ thức sau: a) 22cos2cossin b) 2 2tan tan2 1tan    Giải a) Ta có 22222cos21sin212sincos14sincos 22222cossin4sincos4224cos2sincossin 222cossin Do đó: 222cos2cossin22cossin Vì 45 nên sincos (xem bài 2.26). Vậy 22cos2cossin Lưu ý: Tiếp tục biến đổi các hệ thức trên ta được các hệ thức sau 22222cossincos1cos2cos1 22222cossin1sinsin12sin Vậy 2222cos2cossin2cos112sin b) Ta có sin2 tan2 cos2   22 2sincos cossin   
Chia cả tử và mẫu cho 2cos ta được: 22 22 2sincoscossin tan2: coscos   22sin:1tan cos   2 2tan 1tan    Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại C,  A , B với  . Chứng minh rằng: 2sinsin1sin2 Giải ABC vuông tại C nên  90AB Mặt khác,  AB nên 45A Ta có 90 nên sincos Do đó 22sinsinsincos 22sincos2sin.cos1sin2 Ví dụ 4. Không dùng máy tính hoặc bảng số hãy tính: sin2230 , cos2230 , tan2230 Giải  Tìm hướng giải Vì 2230 bằng một nửa của góc 45 , nên ta dùng công thức tỉ số lượng giác của góc nhân đôi để giải.  Trình bày lời giải  Ta có 2 cos212sin21cos2 sin 2   Với 2230 , 245 ta được:  21cos45 sin2230 2 12 1 22     122 . 22   22 4   Suy ra 22 sin2230 2    Ta có 2 cos22cos121cos2 cos 2   Với 2230 , 245 ta được: 1cos45 cos2230 2  12 1 22     122 . 22  22 4   Suy ra  22 cos2230 2  sin2230 tan2230 cos2230   2222 : 22    221 22 22221     221 21 1   C. Bài tập vận dụng 4.1. Cho 045 , chứng minh rằng 1sin2sincos 4.2. Cho 24 sin 25 a) sin2
b) sin 2  4.3. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: sin15 , cos15 , tan15 4.4. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: sin75 , cos75 , tan75 4.5. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: sin6730 , cos6730 , tan6730 4.6. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: a) cos36 b) Từ đó hãy tính cos72 , cos18 , sin72 , sin18 4.7. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Đặt  MAN , tính sin 4.8. Cho tam giác ABC vuông tại A, BCa ,  45C . Vẽ đường trung tuyến AM. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh rằng: 2 2 cos 2cos1 a CN   4.9. Cho tam giác ABC cân tại A,  80A . Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho  50BAM , 30ABN . Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng MON là tam giác cân 4.10. Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: sin.sin.sinsin.sin.sin 222 BCCAAB ABC  HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 4.1. Ta có 1sin222sincos2sin.cos 2sincos Do đó 1sin2 2sincossincos Ta có sincos0 nên 1sin2sincos 4.2. a) Ta có 22 sincos12 22449 cos1 25625     Do đó 497 cos 62525 Vậy 247336 sin22sin.cos2.. 2525625 b) Từ công thức 2 cos212sin suy ra 2 cos12sin 2   Do đó 21cos sin 22  79 1:2 2525     . Vậy 3 sin 25   4.3. Ta có 2 cos212sin21cos2 sin 2   Với 15 , 230 ta được: 21cos30 sin15 2  231323423 1:2 2488      Do đó 22313162 sin15 8422    Với 15 , 230 ta được:
21cos30 cos15 2  231323423 1:2 2488      Do đó 2313162 cos15 8422    Ta có sin15 tan15 cos15    6262 : 44    223131 2231    423 23 2   Cách giải khác: Tính trực tiếp theo định nghĩa tỉ số lượng giác.  Cách thứ nhất Xét ABC vuông tại A,  15B , 1AC Để tính sinB , cosB , tanB ta cần phải biết AB, BC Vẽ đường trung trực của BC cắt AB tại N. NBC cân tại N. Ta có  230ANCB Xét ANC vuông tại A có  30ANC , nên 22NCAC .cot301.33ANAC ; 23ABANNBANNC Xét ABC vuông tại A có 22222231843BCABAC Do đó 28432423231231BC Vậy sin15sinAC B BC  231162 2.24231     cos15cosAB B BC  231232362 44231     tan15tanAC B AB123 23 123     Cách thứ hai Xét ABC vuông tại A,  15B , 4BC Vẽ đường trung tuyến AM và đường cao AH. Ta có 2MAMBMC MAB cân tại M,  230AMCB Xét AMH vuông tại H,  30AMC nên 1 1 2AHAM Ta có 3 .cos2.cos302.3 2HMAMM Suy ra 32HBHMMB Ta có 222 ABAHHB 2221328432423223 231AB 222 ACBCAB 2168438432423231 231AC Vậy 62 sin15sin 4 AC B BC  