Title Chủ đề 7.1 - MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH TN THPT QUỐC GIA.doc ✅

Trang 1/108 Chủ đề 7 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH ĐH- THPT QUỐC GIA Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội dung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thì với các bài toán ngày càng khó hơn. Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và các đề thi chuyên toán các năm gần đây. Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:   111 abc9 abc b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn abc3 . Chứng ming rằng:  222 12009 670 abbccaabc Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010 Lời giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 3 3 1111 abcabc;3 abcabc Suy ra   111 abc9 abc Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc b) Ta có   2 222abc abbccaabcabbcca3 3 Suy ra   2007 669 abbcca Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có    222 222 111 abc2ab2bc2ca9 abbccaabbccaabc Suy ra  2222 119 1 abbccaabc abc Do đó ta được  222 12009 670 abbccaabc . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi abc1 . Bài 2. Với số tự nhiên n3 . Chúng minh rằng  n 1 S 2 . Với n111S... 3125232n1nn1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010 Lời giải Với n3 , ta có
Trang 2/108      2 2 1n1nn1n 2n1 4n4n12n1nn1 n1n111 22n1.nnn1 4n4n n+1-n Do đó ta được   n 111111111 S1...1 222223nn1n1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 3. Chứng minh rằng 2m12n n32 , với mọi số nguyên m, n. Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình năm 2009-2010 Lời giải Vì m, n là các số nguyên nên m n là số hữu tỉ và 2 là số vô tỉ nên m 20 n . Ta xét hai trường hợp sau + Trường hợp 1: Với m 2 n , khi đó ta được 2222m2nm2n1 hay 12m2n Từ đó suy ra           2 2 2 2 2 22 m2n11 2222 nnn 1 22 11 n 1n321 22n22 nn + Trường hợp 2: Với m 2 n , khi đó ta được 2222m2nm2n1 hay 12m2n Từ đó suy ra            2 2 2 2 2 2 2 1 22 mm2n11 n 22222 nnnn1 22 n 11 n321 n22 n Vậy bài toán được chứng minh. Bài 4. Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
Trang 3/108   222 222 abc 2 bccaab Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với         2 abcabbcca 22 bccaabbccacaababbc Mà ta lại có           abbcca bccacaababbc ababbcbccacaabbcca 1 abbccaabbcca Do đó bất đẳng thức trên trở thành     2 abc 0 bccaab . Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:    222 222 abbcca Pabc abbcca Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010 Lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại abc1 và giá trị nhỏ nhất của P là 4. Ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức    222 222 abbcca abc4 abbcca Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có   222222 333222222 3abcabcabc abcabbccaabbcca Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có 322322322aab2ab;bbc2bc;  cca2ca Suy ra 2222223abc 3abbcca0 Do đó ta được    222222 222222 abbccaabbcca abcabc abbccaabc Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được    222 222 abbcca abc4 abc Hay      222 222 222 9abc abc4 2abc Đặt 222tabc .
Trang 4/108 Từ giả thiết 222abc3abc3 , do đó ta được t3 Bất đẳng thức trên trở thành 29tt42t9t8tt32t30 2t Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t3 . Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 6. Cho biểu thức 2222Pabcdacbd , trong đó adbc1 . Chứng minh rằng: P3 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải Cách 1: Ta có     22 22222222 2222222222 acbdadbcac2abcdbdad2abcdbc acdbdcabcd Vì adbc1 nên 222221acbdabcd(1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 22222222Pabcdacbd2abcdacbd Suy ta 2P21acbdacbd . Rõ ràng P0 vì 2221acbdacbd Đặt xacbd , khi đó ta được 22222222P21xxP41x4x1xx1x4x1x4x3 Hay 222P1x2x33 . Do đó ta được P3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi        adbc1 2a3dc 2b3cd Cách 2: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 2222abcdacbd3adbc Hay 2222abcdacbda3dcb3cd Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có         2 22 22 2 22 22 3dc 3d23cdc a3dcaa 44 3cd 3d23cdc b3cdbb 44 Cộng theo về hai bất đẳng thức trên ta được 2222abcdacbda3dcb3cd Bài toán được chứng minh xong.