Title TOÁN-12_BAI 1_DON DIEU-CUC-TRI_TOÁN THỰC TẾ_DE.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 1 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT TOÁN 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Khái niệm tính đợn điệu của hàm số. Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y f x  ( ) là hàm số xác định trên K . +) Hàm số y f x  ( ) được gọi là đồng biến trên K nếu 1 2 1 2 1 2      x x K x x f x f x , , ( ) ( ). +) Hàm số y f x  ( ) được gọi là nghịch biến trên K nếu 1 2 1 2 1 2      x x K x x f x f x , , ( ) ( ). +) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. Chú ý: + Nếu hàm số đồng biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi lên. + Nếu hàm số nghịch biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống. 2. Định lý: Cho hàm số y f x  ( ) có đạo hàm trên K   , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng. +) Nếu f x x K ( ) 0,    thì hàm số y f x  ( ) đồng biến trên khoảng K . +) Nếu f x x K ( ) 0,    thì hàm số y f x  ( ) nghịch biến trên khoảng K . CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT.
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 2 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán Sưu tầm và biên soạn Chú ý. Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f x   bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K . Người ta chứng minh được rằng, nếu f x    0 với mọi x K  thì hàm số f x  không đổi trên khoảng K . 3. Định lý: (Tổng quát) Cho hàm số y f x  ( ) có đạo hàm trên K   , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng. +) Nếu f x x K ( ) 0,    và f x( ) 0  xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số y f x  ( ) đồng biến trên khoảng K . +) Nếu f x x K ( ) 0,    và f x( ) 0  xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên K thì hàm số y f x  ( ) nghịch biến trên khoảng K . 4. Lưu ý: +) Nếu hàm số y f x  ( ) liên tục trên đoạn [ ; ] a b và f x x a b '( ) 0, ( ; )    thì ta nói hàm số đồng biến trên đoạn [ ; ]. a b +) Nếu hàm số y f x  ( ) liên tục trên đoạn [ ; ] a b và f x x b '( ) 0, (a; )    thì ta nói hàm số nghịch biến trên đoạn [ ; ]. a b +) Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng. 5. Sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số. Để xét tính đơn điệu của hàm số y f x  ( ) ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D . Bước 2: Tính đạo hàm y f x    ( ) . Tìm các điểm x i i   0;1;2;... mà tại đó f x ( ) 0  hoặc làm cho f x ( ) không xác định. Bước 3: Sắp xếp các x i i   0;1;2;... theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên nêu kết luận Chú ý: Đối với bài toán trắc nghiệm, ta có thể sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT. Cách 1: Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio. Quan sát bảng kết quả nhận được về tính tăng, giảm giá trị của f(x) và dự đoán. Cách 2: Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba). II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
CHUYÊN ĐỀ I – ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 3 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT TOÁN 10; 11; 12 Sưu tầm và biên soạn 1. Khái niệm cực trị của hàm số: Cho hàm số y f x  ( ) xác định và liên tục trên khoảng ( ; ) a b và điểm 0 x a b ( ; ). +) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x f x     0  với mọi 0 0 x x h x h    ( ; ) và 0 x x  thì ta nói hàm số y f x  ( ) đạt cực đại tại 0 x . +) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f x f x     0  với mọi 0 0 x x h x h    ( ; ) và 0 x x  thì ta nói hàm số y f x  ( ) đạt cực tiểu tại 0 x . * Chú ý +) Nếu hàm số y f x  ( ) đạt cực đại tại 0 x thì 0 x được gọi là điểm cực đại của hàm số; 0 f x( ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là ( ) CT f f CÑ , còn điểm 0 0 M x f x ( ; ( )) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. +) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại còn gọi là cực đại và được gọi chung là cực trị của hàm số. 2. Cách tìm cực trị của hàm số Định lí 2: Giả sử hàm số y f x  ( ) liên tục trên ( ; ) a b chứa điểm 0 x và có đạo hàm trên 0 ( ; ) a x và 0 ( ; ) x b . +) Nếu f x ' 0    trên khoảng 0 ( ; ) a x và f x '( ) 0  trên 0 ( ; ) x b thì 0 x là một điểm cực đại của hàm số y f x  ( ) . +) Nếu f x    0 trên khoảng 0 ( ; ) a x và f x ( ) 0  trên 0 ( ; ) x b thì 0 x là một điểm cực tiểu của hàm số y f x  ( ) . Minh họa bằng bảng biến thiến NHẬN XÉT: Để tìm cực trị của hàm số y f x  ( ) ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định D . Bước 2: Tính đạo hàm y f x    ( ) . Tìm các điểm x i i   0;1;2;... mà tại đó f x ( ) 0  hoặc làm cho f x ( ) không xác định. Bước 3: Sắp xếp các x i i   0;1;2;... theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4: Căn cứ vào bảng biến thiên nêu kết luận
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 4 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT Quốc Gia – BDKT 10; 11 môn Toán Sưu tầm và biên soạn Câu 1: Một vật chuyển động theo quy luật   3 2 s t t t t      2 24 9 3 với t(giây) là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu chuyển động và s t  (m) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vật chuyển động nhanh dần hay chậm dần. Câu 2: Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm được tính theo công thức   4 1 3 30 100 4         t V t t với 0 90  t . Tốc độ bơm nước ở thời điểm t được tính theo công thức v t V t      . Tìm thời điểm tốc độ bơm nước là lớn nhất và tính tốc độ bơm nước lớn nhất đó. Câu 3: Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số 5000 ( ) , 0 1 5 t f t t e    trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f t ( ) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? Câu 4: Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox . Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số 3 2 x t t t t ( ) 6 9    với t  0 . Khi đó x t ( ) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu v t v t ( ); ( )  là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t . Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm? Câu 5: Một hợp tác xã nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người ta thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng (gam). Hỏi phải thả số lượng cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ thuộc khoảng nào dưới đây để cân nặng trung bình của số cá đó tăng? Câu 6: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là Nếu coi f t  là hàm số xác định trên đoạn [0;25] thì đạo hàm f t   được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Xác định khoảng thời gian mà tốc độ truyền bệnh giảm? Câu 7: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức trong đó c là hằng số và E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm ở khoảng nào thì năng lượng tiêu hao của cá giảm? Câu 8: Một cửa hàng trung bình bán được 100 cái Tivi mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một cái. Chủ cửa hàng nhận thấy rằng, nếu giảm giá bán mỗi cái 500 ngàn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm 10 cái mỗi tháng. Hỏi cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu để doanh thu cửa hàng là lớn nhất? Câu 9: Giả sử số lượng quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số   0,75 25 0,25    t P t e , trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tốc độ sinh trưởng của quần thể nấm men ở thời điểm t được tính theo công thức P t   . Nêu nhận xét về sự tăng giảm của số lượng quần thể nấm men được nuôi cấy. Số lượng quần thể nấm men có thể tăng lên vô cùng được không? P n n ( ) 480 20   2 3 f t t t t ( ) 45 , 0,1, 2,...,25.    3 E v cv t ( ) ,  HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN THỰC TẾ. =